Algebra Beispiele

$2 \sqrt[3]{x} + 19$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 2 \sqrt[3]{y} + 19$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $2 \sqrt[3]{y} + 19 = x$ um.

$2 \sqrt[3]{y} + 19 = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $19$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt[3]{y} = x - 19$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(2 \sqrt[3]{y})}^{3} = {(x - 19)}^{3}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y}$ als $y^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(2 y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 19)}^{3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${(2 y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 y^{\frac{1}{3}}$ an.

$2^{3} {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 19)}^{3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 19)}^{3}$

Schritt 2.4.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.4.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 19)}^{3}$

Schritt 2.4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 19)}^{3}$

Schritt 2.4.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8 y^{1} = {(x - 19)}^{3}$

Schritt 2.4.2.1.4

Vereinfache.

$8 y = {(x - 19)}^{3}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(x - 19)}^{3}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$8 y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 19 + 3 x {(- 19)}^{2} + {(- 19)}^{3}$

Schritt 2.4.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 19$ mit $3$ .

$8 y = x^{3} - 57 x^{2} + 3 x {(- 19)}^{2} + {(- 19)}^{3}$

Schritt 2.4.3.1.2.2

Potenziere $- 19$ mit $2$ .

$8 y = x^{3} - 57 x^{2} + 3 x \cdot 361 + {(- 19)}^{3}$

Schritt 2.4.3.1.2.3

Mutltipliziere $361$ mit $3$ .

$8 y = x^{3} - 57 x^{2} + 1083 x + {(- 19)}^{3}$

Schritt 2.4.3.1.2.4

Potenziere $- 19$ mit $3$ .

$8 y = x^{3} - 57 x^{2} + 1083 x - 6859$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $8 y = x^{3} - 57 x^{2} + 1083 x - 6859$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y = x^{3} - 57 x^{2} + 1083 x - 6859$ durch $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{3}}{8} + \frac{- 57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} + \frac{- 6859}{8}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{3}}{8} + \frac{- 57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} + \frac{- 6859}{8}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{- 57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} + \frac{- 6859}{8}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} + \frac{- 6859}{8}$

Schritt 2.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 \sqrt[3]{x} + 19$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{3}}{8} - \frac{57 {(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2}}{8} + \frac{1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19)}{8} - \frac{6859}{8}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{3} - 57 {(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2} + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x})}^{3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot 19 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) \cdot 19^{2} + 19^{3} - 57 {(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2} + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.2.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt[3]{x}$ an.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{2^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot 19 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) \cdot 19^{2} + 19^{3} - 57 {(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2} + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot 19 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) \cdot 19^{2} + 19^{3} - 57 {(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2} + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.2.3

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 4.2.4.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot 19 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) \cdot 19^{2} + 19^{3} - 57 {(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2} + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot 19 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) \cdot 19^{2} + 19^{3} - 57 {(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2} + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x^{\frac{3}{3}} + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot 19 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) \cdot 19^{2} + 19^{3} - 57 {(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2} + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.4.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 4.2.4.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot 19 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) \cdot 19^{2} + 19^{3} - 57 {(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2} + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.2.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 3 {(2 \sqrt[3]{x})}^{2} \cdot 19 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) \cdot 19^{2} + 19^{3} - 57 {(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2} + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.2.4

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt[3]{x}$ an.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 3 (2^{2} {\sqrt[3]{x}}^{2}) \cdot 19 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) \cdot 19^{2} + 19^{3} - 57 {(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2} + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 3 (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) \cdot 19 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) \cdot 19^{2} + 19^{3} - 57 {(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2} + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.2.6

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}}) \cdot 19 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) \cdot 19^{2} + 19^{3} - 57 {(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2} + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 19 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) \cdot 19^{2} + 19^{3} - 57 {(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2} + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.2.8

Mutltipliziere $19$ mit $12$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 (2 \sqrt[3]{x}) \cdot 19^{2} + 19^{3} - 57 {(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2} + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 6 \sqrt[3]{x} \cdot 19^{2} + 19^{3} - 57 {(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2} + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.2.10

Potenziere $19$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 6 \sqrt[3]{x} \cdot 361 + 19^{3} - 57 {(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2} + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.2.11

Mutltipliziere $361$ mit $6$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 19^{3} - 57 {(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2} + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.2.12

Potenziere $19$ mit $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 57 {(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2} + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.3

Schreibe ${(2 \sqrt[3]{x} + 19)}^{2}$ als $(2 \sqrt[3]{x} + 19) (2 \sqrt[3]{x} + 19)$ um.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 57 ((2 \sqrt[3]{x} + 19) (2 \sqrt[3]{x} + 19)) + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.4

Multipliziere $(2 \sqrt[3]{x} + 19) (2 \sqrt[3]{x} + 19)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 57 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x} + 19) + 19 (2 \sqrt[3]{x} + 19)) + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 57 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot 19 + 19 (2 \sqrt[3]{x} + 19)) + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 57 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot 19 + 19 (2 \sqrt[3]{x}) + 19 \cdot 19) + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.5.1.1

Multipliziere $2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x})$ .

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Schritt 4.2.4.5.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 57 (4 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot 19 + 19 (2 \sqrt[3]{x}) + 19 \cdot 19) + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.5.1.1.2

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 57 (4 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot 19 + 19 (2 \sqrt[3]{x}) + 19 \cdot 19) + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.5.1.1.3

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

Schritt 4.2.4.5.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 57 (4 {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot 19 + 19 (2 \sqrt[3]{x}) + 19 \cdot 19) + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.5.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 57 (4 {\sqrt[3]{x}}^{2} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot 19 + 19 (2 \sqrt[3]{x}) + 19 \cdot 19) + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.5.1.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 57 (4 \sqrt[3]{x^{2}} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot 19 + 19 (2 \sqrt[3]{x}) + 19 \cdot 19) + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.5.1.3

Mutltipliziere $19$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 57 (4 \sqrt[3]{x^{2}} + 38 \sqrt[3]{x} + 19 (2 \sqrt[3]{x}) + 19 \cdot 19) + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $19$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 57 (4 \sqrt[3]{x^{2}} + 38 \sqrt[3]{x} + 38 \sqrt[3]{x} + 19 \cdot 19) + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.5.1.5

Mutltipliziere $19$ mit $19$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 57 (4 \sqrt[3]{x^{2}} + 38 \sqrt[3]{x} + 38 \sqrt[3]{x} + 361) + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.5.2

Addiere $38 \sqrt[3]{x}$ und $38 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 57 (4 \sqrt[3]{x^{2}} + 76 \sqrt[3]{x} + 361) + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 57 (4 \sqrt[3]{x^{2}}) - 57 (76 \sqrt[3]{x}) - 57 \cdot 361 + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.7

Vereinfache.

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Schritt 4.2.4.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 57$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 228 \sqrt[3]{x^{2}} - 57 (76 \sqrt[3]{x}) - 57 \cdot 361 + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.7.2

Mutltipliziere $76$ mit $- 57$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 228 \sqrt[3]{x^{2}} - 4332 \sqrt[3]{x} - 57 \cdot 361 + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.7.3

Mutltipliziere $- 57$ mit $361$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 228 \sqrt[3]{x^{2}} - 4332 \sqrt[3]{x} - 20577 + 1083 (2 \sqrt[3]{x} + 19) - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 228 \sqrt[3]{x^{2}} - 4332 \sqrt[3]{x} - 20577 + 1083 (2 \sqrt[3]{x}) + 1083 \cdot 19 - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.9

Mutltipliziere $2$ mit $1083$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 228 \sqrt[3]{x^{2}} - 4332 \sqrt[3]{x} - 20577 + 2166 \sqrt[3]{x} + 1083 \cdot 19 - 6859}{8}$

Schritt 4.2.4.10

Mutltipliziere $1083$ mit $19$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 228 \sqrt[3]{x^{2}} - 4332 \sqrt[3]{x} - 20577 + 2166 \sqrt[3]{x} + 20577 - 6859}{8}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 x + 228 \sqrt[3]{x^{2}} + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 228 \sqrt[3]{x^{2}} - 4332 \sqrt[3]{x} - 20577 + 2166 \sqrt[3]{x} + 20577 - 6859$ .

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Schritt 4.2.5.1.1

Subtrahiere $228 \sqrt[3]{x^{2}}$ von $228 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 0 + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 4332 \sqrt[3]{x} - 20577 + 2166 \sqrt[3]{x} + 20577 - 6859}{8}$

Schritt 4.2.5.1.2

Addiere $8 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 4332 \sqrt[3]{x} - 20577 + 2166 \sqrt[3]{x} + 20577 - 6859}{8}$

Schritt 4.2.5.1.3

Addiere $- 20577$ und $20577$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 4332 \sqrt[3]{x} + 0 + 2166 \sqrt[3]{x} - 6859}{8}$

Schritt 4.2.5.1.4

Addiere $8 x + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 4332 \sqrt[3]{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 2166 \sqrt[3]{x} + 6859 - 4332 \sqrt[3]{x} + 2166 \sqrt[3]{x} - 6859}{8}$

Schritt 4.2.5.1.5

Subtrahiere $6859$ von $6859$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 2166 \sqrt[3]{x} + 0 - 4332 \sqrt[3]{x} + 2166 \sqrt[3]{x}}{8}$

Schritt 4.2.5.1.6

Addiere $8 x + 2166 \sqrt[3]{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 2166 \sqrt[3]{x} - 4332 \sqrt[3]{x} + 2166 \sqrt[3]{x}}{8}$

Schritt 4.2.5.2

Subtrahiere $4332 \sqrt[3]{x}$ von $2166 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x - 2166 \sqrt[3]{x} + 2166 \sqrt[3]{x}}{8}$

Schritt 4.2.5.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 x - 2166 \sqrt[3]{x} + 2166 \sqrt[3]{x}$ .

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Schritt 4.2.5.3.1

Addiere $- 2166 \sqrt[3]{x}$ und $2166 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x + 0}{8}$

Schritt 4.2.5.3.2

Addiere $8 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 4.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 4.2.5.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x} + 19) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}} + 19$

Schritt 4.3.3

Entferne die Klammern.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}} + 19$

Schritt 4.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3} - 57 x^{2} + 1083 x - 6859}{8}} + 19$

Schritt 4.3.4.2

Schreibe $\frac{x^{3} - 57 x^{2} + 1083 x - 6859}{8}$ als ${(\frac{1}{2})}^{3} (x^{3} - 57 x^{2} + 1083 x - 6859)$ um.

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Schritt 4.3.4.2.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{3}$ aus $x^{3} - 57 x^{2} + 1083 x - 6859$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = 2 \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x^{3} - 57 x^{2} + 1083 x - 6859)}{8}} + 19$

Schritt 4.3.4.2.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{3}$ aus $8$ heraus.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = 2 \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x^{3} - 57 x^{2} + 1083 x - 6859)}{2^{3} \cdot 1}} + 19$

Schritt 4.3.4.2.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{3} (x^{3} - 57 x^{2} + 1083 x - 6859)}{2^{3} \cdot 1}$ um.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = 2 \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} (x^{3} - 57 x^{2} + 1083 x - 6859)} + 19$

Schritt 4.3.4.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x^{3} - 57 x^{2} + 1083 x - 6859}) + 19$

Schritt 4.3.4.4

Passe jeden Term so an, dass er den Termen des binomischen Lehrsatzes entspricht.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (19 x^{2}) + 3 \cdot (19^{2} x) - 1 \cdot 19^{3}}) + 19$

Schritt 4.3.4.5

Faktorisiere $x^{3} - 3 \cdot 19 x^{2} + 3 \cdot 19^{2} x - 1 \cdot 19^{3}$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{{(x - 19)}^{3}}) + 19$

Schritt 4.3.4.6

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = 2 (\frac{1}{2} \cdot (x - 19)) + 19$

Schritt 4.3.4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = 2 (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 19) + 19$

Schritt 4.3.4.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = 2 (\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 19) + 19$

Schritt 4.3.4.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 19$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = 2 (\frac{x}{2} + \frac{- 19}{2}) + 19$

Schritt 4.3.4.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = 2 (\frac{x}{2} - \frac{19}{2}) + 19$

Schritt 4.3.4.11

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{19}{2}) + 19$

Schritt 4.3.4.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{19}{2}) + 19$

Schritt 4.3.4.12.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = x + 2 (- \frac{19}{2}) + 19$

Schritt 4.3.4.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.13.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{19}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = x + 2 (\frac{- 19}{2}) + 19$

Schritt 4.3.4.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = x + 2 (\frac{- 19}{2}) + 19$

Schritt 4.3.4.13.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = x - 19 + 19$

Schritt 4.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 19 + 19$ .

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Schritt 4.3.5.1

Addiere $- 19$ und $19$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = x + 0$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 \sqrt[3]{x} + 19$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} - \frac{57 x^{2}}{8} + \frac{1083 x}{8} - \frac{6859}{8}$