Algebra Beispiele

${(1 + 2 i)}^{4}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(1)}^{4 - k} \cdot {(2 i)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{4 - 0} \cdot {(2 i)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{4 - 1} \cdot {(2 i)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(1)}^{4 - 2} \cdot {(2 i)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(1)}^{4 - 3} \cdot {(2 i)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(1)}^{4 - 4} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(1)}^{4} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache das Ergebnis des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Multipliziere $1$ mit ${(1)}^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1

Mutltipliziere $1$ mit ${(1)}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1.1

Potenziere $1$ mit $1$ .

$1^{1} \cdot {(1)}^{4} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1^{1 + 4} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.1.2

Addiere $1$ und $4$ .

$1^{5} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache $1^{5} \cdot {(2 i)}^{0}$ .

$1^{5} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 4 \cdot 1 \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$1 + 4 \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.6

Vereinfache.

$1 + 4 \cdot (2 i) + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 8 i + 6 \cdot 1 \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.9

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.10

Wende die Produktregel auf $2 i$ an.

$1 + 8 i + 6 \cdot (2^{2} i^{2}) + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot (4 i^{2}) + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.12

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 8 i + 6 \cdot (4 \cdot - 1) + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.13

Multipliziere $6 (4 \cdot - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.13.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot - 4 + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.13.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 4$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.14

Berechne den Exponenten.

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot 1 \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.15

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.16

Wende die Produktregel auf $2 i$ an.

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (2^{3} i^{3}) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.17

Potenziere $2$ mit $3$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 i^{3}) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.18

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 (i^{2} \cdot i)) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.19

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 (- 1 \cdot i)) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.20

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 (- i)) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (- 8 i) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.22

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.23

Multipliziere $1$ mit ${(1)}^{0}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.23.1

Mutltipliziere $1$ mit ${(1)}^{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.23.1.1

Potenziere $1$ mit $1$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1^{1} \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.23.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1^{1 + 0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.23.2

Addiere $1$ und $0$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1^{1} \cdot {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.24

Vereinfache $1^{1} \cdot {(2 i)}^{4}$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + {(2 i)}^{4}$

Schritt 4.1.25

Wende die Produktregel auf $2 i$ an.

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 2^{4} i^{4}$

Schritt 4.1.26

Potenziere $2$ mit $4$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 i^{4}$

Schritt 4.1.27

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.27.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 {(i^{2})}^{2}$

Schritt 4.1.27.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.1.27.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 \cdot 1$

Schritt 4.1.28

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Subtrahiere $24$ von $1$ .

$- 23 + 8 i - 32 i + 16$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 23$ und $16$ .

$- 7 + 8 i - 32 i$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $32 i$ von $8 i$ .

$- 7 - 24 i$