Algebra Beispiele

$H = 33 (10 \sqrt{v} - v + 10.45)$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{v'}$ als ${v'}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$H = 33 (10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45)$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d H} (H) = \frac{d}{d H} (33 (10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45))$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d H} [H^{n}]$ gleich $n H^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1

Da $33$ konstant bezüglich $H$ ist, ist die Ableitung von $33 (10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45)$ nach $H$ gleich $33 \frac{d}{d H} [10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45]$ .

$33 \frac{d}{d H} [10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45$ nach $H$ $\frac{d}{d H} [10 {v'}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45]$ .

$33 (\frac{d}{d H} [10 {v'}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.1.3

Da $10$ konstant bezüglich $H$ ist, ist die Ableitung von $10 {v'}^{\frac{1}{2}}$ nach $H$ gleich $10 \frac{d}{d H} [{v'}^{\frac{1}{2}}]$ .

$33 (10 \frac{d}{d H} [{v'}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d H} [f (g (H))]$ ist $f' (g (H)) g' (H)$ , mit $f (H) = H^{\frac{1}{2}}$ und $g (H) = v'$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $v'$ .

$33 (10 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $v'$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ .

$33 (10 (\frac{{v'}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.9

Bringe ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$33 (10 (\frac{1}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.10

Kombiniere $\frac{1}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}}$ und $10$ .

$33 (\frac{10}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.11

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$33 (\frac{2 \cdot 5}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {v'}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$33 (\frac{2 \cdot 5}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$33 (\frac{2 \cdot 5}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.12.3

Forme den Ausdruck um.

$33 (\frac{5}{{v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.13

Schreibe $\frac{d}{d H} [v']$ als $v''$ um.

$33 (\frac{5}{{v'}^{\frac{1}{2}}} v'' + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.14

Kombiniere $\frac{5}{{v'}^{\frac{1}{2}}}$ und $v''$ .

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.15

Da $- 1$ konstant bezüglich $H$ ist, ist die Ableitung von $- v'$ nach $H$ gleich $- \frac{d}{d H} [v']$ .

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.16

Schreibe $\frac{d}{d H} [v']$ als $v''$ um.

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - v'' + \frac{d}{d H} [10.45])$

Schritt 4.17

Da $10.45$ konstant bezüglich $H$ ist, ist die Ableitung von $10.45$ bezüglich $H$ gleich $0$ .

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - v'' + 0)$

Schritt 4.18

Addiere $\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - v''$ und $0$ .

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - v'')$

Schritt 4.19

Vereinfache.

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Schritt 4.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$33 \frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} + 33 (- v'')$

Schritt 4.19.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.19.2.1

Kombiniere $33$ und $\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{33 (5 v'')}{{v'}^{\frac{1}{2}}} + 33 (- v'')$

Schritt 4.19.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $33$ .

$\frac{165 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} + 33 (- v'')$

Schritt 4.19.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $33$ .

$\frac{165 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - 33 v''$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{165 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - 33 v''$

Schritt 6

Löse nach $v'$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Bringe ${v'}^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$1 = 165 v' {v'}^{- \frac{1}{2}} - 33 v'$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $v'$ mit ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.2.1

Bewege ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 = 165 ({v'}^{- \frac{1}{2}} v') - 33 v'$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ mit $v'$ .

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Schritt 6.1.2.2.1

Potenziere $v'$ mit $1$ .

$1 = 165 ({v'}^{- \frac{1}{2}} {v'}^{1}) - 33 v'$

Schritt 6.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 = 165 {v'}^{- \frac{1}{2} + 1} - 33 v'$

Schritt 6.1.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$1 = 165 {v'}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - 33 v'$

Schritt 6.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 = 165 {v'}^{\frac{- 1 + 2}{2}} - 33 v'$

Schritt 6.1.2.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$1 = 165 {v'}^{\frac{1}{2}} - 33 v'$

Schritt 6.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$v' \approx 3.68202613 E - 5, 24.93935711$

Schritt 7

Ersetze $v'$ durch $\frac{d v}{d H}$ .

$v' = \frac{d v}{d H} \approx 3.68202613 E - 5, 24.93935711$