Algebra Beispiele

$y \sin (2 x) = x \cos (2 y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y \sin (2 x)) = \frac{d}{d x} (x \cos (2 y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = \sin (2 x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$y (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$y (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y \cos (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y \cos (2 x)$ .

$2 \cdot (y \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y \cos (2 x) + \sin (2 x) y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (2 y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (2 y)] + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y]) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 y]) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 y$ .

$x (- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x (- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x (- 2 \sin (2 y) y') + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- 2 \sin (2 y) y') + \cos (2 y) \cdot 1$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $\cos (2 y)$ mit $1$ .

$x (- 2 \sin (2 y) y') + \cos (2 y)$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

$- 2 x \sin (2 y) y' + \cos (2 y)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y \cos (2 x) + \sin (2 x) y' = - 2 x \sin (2 y) y' + \cos (2 y)$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$2 y (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \sin (2 x) y' = - 2 x \sin (2 y) y' + \cos (2 y)$

Schritt 5.2

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$2 y (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \sin (2 x) y' = - 2 x \sin (2 y) y' + 1 - 2 \sin^{2} (y)$

Schritt 5.3

Subtrahiere $2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (2 x) y' = - 2 x \sin (2 y) y' + 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.4

Addiere $2 x \sin (2 y) y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (2 x) y' + 2 x \sin (2 y) y' = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache $\sin (2 x) y' + 2 x \sin (2 y) y'$ .

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Schritt 5.5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \sin (x) \cos (x) y' + 2 x \sin (2 y) y' = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.5.1.1.2

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \sin (x) \cos (x) y' + 2 x (2 \sin (y) \cos (y)) y' = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.5.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) y' + 4 x \sin (y) \cos (y) y' = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.5.1.2

Stelle die Faktoren in $2 \sin (x) \cos (x) y' + 4 x \sin (y) \cos (y) y'$ um.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y \cdot 1 - 2 y (- 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.6.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y - 2 y (- 2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.6.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y - 2 \cdot - 2 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.6.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

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Schritt 5.7.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.1.1

Vereinfache $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

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Schritt 5.7.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.7.1.1.1.1

Füge Klammern hinzu.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.1.1.1.2

Stelle $2 y'$ und $\sin (x) \cos (x)$ um.

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.1.1.1.3

Stelle $\sin (x) \cos (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.1.1.1.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.1.1.2

Stelle die Faktoren in $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ um.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.3

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.7.4.1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$y' (2 \sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

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Schritt 5.7.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.5.1.1

Vereinfache $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

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Schritt 5.7.5.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.7.5.1.1.1.1

Füge Klammern hinzu.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.1.1.1.2

Stelle $2 y'$ und $\sin (x) \cos (x)$ um.

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.1.1.1.3

Stelle $\sin (x) \cos (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.1.1.1.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.1.1.2

Stelle die Faktoren in $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ um.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.5.2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.3

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.5.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.5.4.1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$y' (2 \sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

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Schritt 5.7.5.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.5.5.1.1

Vereinfache $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

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Schritt 5.7.5.5.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.7.5.5.1.1.1.1

Füge Klammern hinzu.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.1.1.1.2

Stelle $2 y'$ und $\sin (x) \cos (x)$ um.

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.1.1.1.3

Stelle $\sin (x) \cos (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.1.1.1.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.1.1.2

Stelle die Faktoren in $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ um.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.5.5.2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.3

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.4

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.5.5.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.5.5.4.1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$y' (2 \sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.5

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.5.5.5.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.5.5.5.1.1

Vereinfache $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.5.5.5.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.5.5.5.1.1.1.1

Füge Klammern hinzu.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.5.1.1.1.2

Stelle $2 y'$ und $\sin (x) \cos (x)$ um.

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.5.1.1.1.3

Stelle $\sin (x) \cos (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.5.1.1.1.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.5.1.1.2

Stelle die Faktoren in $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ um.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.5.5.5.2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.5.3

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.5.4

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.5.5.5.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.5.5.5.4.1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$y' (2 \sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.5.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.5.5

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.5.5.5.5.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.5.5.5.5.1.1

Vereinfache $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.5.5.5.5.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.5.5.5.5.1.1.1.1

Füge Klammern hinzu.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.5.5.1.1.1.2

Stelle $2 y'$ und $\sin (x) \cos (x)$ um.

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.5.5.1.1.1.3

Stelle $\sin (x) \cos (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.5.5.1.1.1.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.5.5.1.1.2

Stelle die Faktoren in $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ um.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.5.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.5.5.5.5.2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.5.5.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ heraus.

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Schritt 5.7.5.5.5.5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' \sin (2 x)$ heraus.

$y' (\sin (2 x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.5.5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $4 x y' \sin (y) \cos (y)$ heraus.

$y' (\sin (2 x)) + y' (4 x \sin (y) \cos (y)) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.5.5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (\sin (2 x)) + y' (4 x \sin (y) \cos (y))$ heraus.

$y' (\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Schritt 5.7.5.5.5.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$ durch $\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.5.5.5.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$ durch $\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)$ .

$\frac{y' (\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y))}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} = \frac{\cos (2 y)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{- 2 y}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Schritt 5.7.5.5.5.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.5.5.5.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)$ .

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Schritt 5.7.5.5.5.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.7.5.5.5.5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\cos (2 y)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{- 2 y}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Schritt 5.7.5.5.5.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.5.5.5.5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{\cos (2 y)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} - \frac{2 y}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Schritt 5.7.5.5.5.5.4.3.2

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 5.7.5.5.5.5.4.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{\cos (2 y) - 2 y}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Schritt 5.7.5.5.5.5.4.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{\cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$