Algebra Beispiele

$x^{6} - 124 x^{3} - 125 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

${(x^{3})}^{2} - 124 x^{3} - 125 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = x^{3}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{3}$ .

$u^{2} - 124 u - 125 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} - 124 u - 125$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 125$ und deren Summe $- 124$ ist.

$- 125, 1$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 125) (u + 1) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$(x^{3} - 125) (x^{3} + 1) = 0$

Schritt 1.5

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$(x^{3} - 5^{3}) (x^{3} + 1) = 0$

Schritt 1.6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2}) (x^{3} + 1) = 0$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2}) (x^{3} + 1) = 0$

Schritt 1.7.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) (x^{3} + 1) = 0$

Schritt 1.8

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) (x^{3} + 1^{3}) = 0$

Schritt 1.9

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Schritt 1.10

Faktorisiere.

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Schritt 1.10.1

Vereinfache.

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Schritt 1.10.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = 0$

Schritt 1.10.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Schritt 1.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4

Setze $x^{2} + 5 x + 25$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2} + 5 x + 25$ gleich $0$ .

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} + 5 x + 25 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 5$ und $c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.3

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.2.3.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 4.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.3

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.2.4.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.4.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $5 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (- 5 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (- 5 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 - 5 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.5.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 4.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.3

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.2.5.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.5.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (5 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (5 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 + 5 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6

Setze $x^{2} - x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x^{2} - x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $x^{2} - x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$