Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + x^{2} + x}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere den Bruch.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{3} + x^{2} + x}$

Schritt 1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{3} + x^{2} + x}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + x^{2} + x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x^{2} + x}$

Schritt 1.1.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x}$

Schritt 1.1.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x^{1}}$

Schritt 1.1.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.5

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x^{2} + x) + x \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.6

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} + x) + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + x + 1))}{x (x^{2} + x + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + x + 1))}{x (x^{2} + x + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.4.2.2

Dividiere $(x + 1) (x - 1)$ durch $1$ .

$(x + 1) (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.5

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.6.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.6.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.6.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.6.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.6.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + x + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.7.1.2

Dividiere $A (x^{2} + x + 1)$ durch $1$ .

$x^{2} - 1 = A (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.7.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + x + 1))}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1.7.4.2

Dividiere $(B x + C) (x)$ durch $1$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x)$

Schritt 1.7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + C x$

Schritt 1.7.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.6.1

Bewege $x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + C x$

Schritt 1.7.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + C x$

Schritt 1.8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1

Stelle $B$ und $x^{2}$ um.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + C x$

Schritt 1.8.2

Bewege $A$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A x + B x^{2} + C x + A$

Schritt 1.8.3

Bewege $A x$ .

$x^{2} - 1 = A x^{2} + B x^{2} + A x + C x + A$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A + B$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + C$

Schritt 2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 1 = A$

Schritt 2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$1 = A + B$

$0 = A + C$

$- 1 = A$

$1 = A + B$

$0 = A + C$

$- 1 = A$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $A = - 1$ um.

$A = - 1$

$1 = A + B$

$0 = A + C$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Ersetze alle $A$ in $1 = A + B$ durch $- 1$ .

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$0 = A + C$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = A + C$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = A + C$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $A$ in $0 = A + C$ durch $- 1$ .

$0 = (- 1) + C$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Entferne die Klammern.

$0 = - 1 + C$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + C$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + C$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

Schritt 3.3

Löse in $0 = - 1 + C$ nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 + C = 0$ um.

$- 1 + C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

Schritt 3.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $1$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 + B = 1$ um.

$- 1 + B = 1$

$C = 1$

$A = - 1$

Schritt 3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$B = 1 + 1$

$C = 1$

$A = - 1$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$B = 2$

$C = 1$

$A = - 1$

$B = 2$

$C = 1$

$A = - 1$

$B = 2$

$C = 1$

$A = - 1$

Schritt 3.5

Liste alle Lösungen auf.

$B = 2, C = 1, A = - 1$

Schritt 4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$- \frac{1}{x} + \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 5

Mutltipliziere $2$ mit $x$ .

$\frac{- 1}{x} + \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}$