Algebra Beispiele

$\sqrt{x^{2} - x + 1}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} - x + 1}$ als ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} - x + 1$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 1.7.3

Bringe ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.13

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + 0)$

Schritt 1.14

Addiere $2 x - 1$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$

Schritt 1.15

Vereinfache.

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Schritt 1.15.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$ um.

$(2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.15.2

Mutltipliziere $2 x - 1$ mit $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x - 1$ und $g (x) = {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.5.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.5.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.5.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} - x + 1$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{{(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.11.3

Bringe ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.14

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1 + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.17

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1 + 0))}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.18

Addiere $2 x - 1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1))}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.19

Potenziere $2 x - 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.20

Potenziere $2 x - 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{1 + 1} \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.22

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2} \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.23

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.24

Um $2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.25

Kombiniere $2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.27

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.28

Multipliziere ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.28.1

Bewege ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 ({(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.28.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.28.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.28.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{2}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.28.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.29

Vereinfache $4 {(x^{2} - x + 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Schritt 2.30

Schreibe $\frac{\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - x + 1})$

Schritt 2.31

Mutltipliziere $\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x^{2} - x + 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - x + 1)}$

Schritt 2.32

Potenziere $x^{2} - x + 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 ((x^{2} - x + 1) {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.33

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.34

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.34.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.34.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 2.34.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.35

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 (2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 2.36

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37

Vereinfache.

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Schritt 2.37.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 (- x) + 4 \cdot 1 - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.37.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.37.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 \cdot 1 - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.1.3

Schreibe ${(2 x - 1)}^{2}$ als $(2 x - 1) (2 x - 1)$ um.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - ((2 x - 1) (2 x - 1))}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.1.4

Multipliziere $(2 x - 1) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.37.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1))}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1))}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.37.2.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.37.2.1.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.1.5.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.37.2.1.5.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.1.5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.1.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.1.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.1.5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.1.5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.1.5.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 4 x + 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.1.7

Vereinfache.

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Schritt 2.37.2.1.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.1.7.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.1.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} + 4 x - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} + 4 x - 1$ .

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Schritt 2.37.2.2.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 4 + 0 + 4 x - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.2.2

Addiere $- 4 x + 4$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 4 + 4 x - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.2.3

Addiere $- 4 x$ und $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 4 - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.2.4

Addiere $0$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.37.2.3

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$f'' (x) = \frac{3}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} - x + 1}$ als ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} - x + 1$ .

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Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 4.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 4.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 4.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 4.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 4.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 4.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 4.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 4.1.7.3

Bringe ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Schritt 4.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.1.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.1.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.1.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.1.13

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + 0)$

Schritt 4.1.14

Addiere $2 x - 1$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$

Schritt 4.1.15

Vereinfache.

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Schritt 4.1.15.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$ um.

$(2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.15.2

Mutltipliziere $2 x - 1$ mit $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x - 1 = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{1}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{3}{4 {({(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 9.1.1.1

Schreibe ${(\frac{1}{2})}^{2}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1} - \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.1.4

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{1})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2^{2}} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{4} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.4

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 9.1.4.1

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.4.4

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{2}{1}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.4.5

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.4.6

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1 - 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1 - 2 + 2 \cdot 2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1 - 2 + 4}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.7

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{- 1 + 4}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.8

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{3}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.9

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{3}{4 {(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.10

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 9.1.10.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{3}{2 \cdot 2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.11

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 9.1.12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.12.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 9.1.12.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Schritt 9.1.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.12.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Schritt 9.1.12.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2^{3}}}$

Schritt 9.1.12.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{8}}$

Schritt 9.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{3}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{8}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Ausdruck $\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{8}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{3}{\frac{4 (3^{\frac{3}{2}})}{8}}$

Schritt 9.2.2.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{3}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}}$

Schritt 9.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}}$

Schritt 9.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{\frac{3^{\frac{3}{2}}}{2}}$

Schritt 9.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$3 \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.4

Multipliziere $3 \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

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Schritt 9.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{3^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10

$x = \frac{1}{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{1}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{1}{2}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) + 1}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) + 1}$

Schritt 11.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) + 1}$

Schritt 11.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - (\frac{1}{2}) + 1}$

Schritt 11.2.4

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + 1}$

Schritt 11.2.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + 1}$

Schritt 11.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{2}{4} + 1}$

Schritt 11.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1 - 2}{4} + 1}$

Schritt 11.2.7

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{- 1}{4} + 1}$

Schritt 11.2.8

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{- 1}{4} + \frac{4}{4}}$

Schritt 11.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{- 1 + 4}{4}}$

Schritt 11.2.10

Addiere $- 1$ und $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{3}{4}}$

Schritt 11.2.11

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Schritt 11.2.12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.12.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 11.2.12.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2.13

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \sqrt{x^{2} - x + 1}$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13