Algebra Beispiele

$y = - 2 x^{2} - x + 3$

Schritt 1

Das Maximum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ negativ ist, ist der Maximalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{- 1}{2 (- 2)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{- 1}{2 (- 2)}$

Schritt 2.3

Vereinfache $- \frac{- 1}{2 (- 2)}$ .

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x = - \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 2.3.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 3

Berechne $f (- \frac{1}{4})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 3$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$f (- \frac{1}{4}) = - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) - (- \frac{1}{4}) + 3$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$f (- \frac{1}{4}) = - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{4^{2}})) - (- \frac{1}{4}) + 3$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - 2 (1 (\frac{1^{2}}{4^{2}})) - (- \frac{1}{4}) + 3$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - 2 \frac{1^{2}}{4^{2}} - (- \frac{1}{4}) + 3$

Schritt 3.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{1}{4}) = - 2 \frac{1}{4^{2}} - (- \frac{1}{4}) + 3$

Schritt 3.2.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - 2 (\frac{1}{16}) - (- \frac{1}{4}) + 3$

Schritt 3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (- \frac{1}{4}) = 2 (- 1) (\frac{1}{16}) - (- \frac{1}{4}) + 3$

Schritt 3.2.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f (- \frac{1}{4}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 8}) - (- \frac{1}{4}) + 3$

Schritt 3.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{4}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 8}) - (- \frac{1}{4}) + 3$

Schritt 3.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 (\frac{1}{8}) - (- \frac{1}{4}) + 3$

Schritt 3.2.1.7

Schreibe $- 1 (\frac{1}{8})$ als $- (\frac{1}{8})$ um.

$f (- \frac{1}{4}) = - (\frac{1}{8}) - (- \frac{1}{4}) + 3$

Schritt 3.2.1.8

Multipliziere $- (- \frac{1}{4})$ .

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Schritt 3.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{8} + 1 (\frac{1}{4}) + 3$

Schritt 3.2.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 3$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} + 3$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2} + 3$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe $3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{3}{1}$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{3}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.2.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 2$ um.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{8} + \frac{2}{2 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{3 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 1 + 2 + 3 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 1 + 2 + 24}{8}$

Schritt 3.2.4.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1 + 24}{8}$

Schritt 3.2.4.3

Addiere $1$ und $24$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{25}{8}$

Schritt 3.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{25}{8}$ .

$\frac{25}{8}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Maximum auftritt.

$(- \frac{1}{4}, \frac{25}{8})$

Schritt 5