Algebra Beispiele

$y = \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\cos^{2} (x))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \cos (y)$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$2 \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$2 \cos (x) (- \sin (x) \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \cos (x) (\sin (x) \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$- 2 \cos (x) \sin (x) x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - 2 \cos (x) \sin (x) x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 \cos (x) \sin (x) x' = 1$ um.

$- 2 \cos (x) \sin (x) x' = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos (x) \sin (x) x' = 1$ durch $- 2 \cos (x) \sin (x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos (x) \sin (x) x' = 1$ durch $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{- 2 \cos (x) \sin (x) x'}{- 2 \cos (x) \sin (x)} = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \cos (x) \sin (x) x'}{- 2 \cos (x) \sin (x)} = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (x) \sin (x) x'}{\cos (x) \sin (x)} = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) \sin (x) x'}{\cos (x) \sin (x)} = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Schritt 5.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x) x'}{\sin (x)} = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) x'}{\sin (x)} = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Schritt 5.2.2.3.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Separiere Brüche.

$x' = \frac{1}{- 2 \sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 5.2.3.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$x' = \frac{1}{- 2 \sin (x)} \sec (x)$

Schritt 5.2.3.3

Separiere Brüche.

$x' = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Schritt 5.2.3.4

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$x' = \frac{1}{- 2} \csc (x) \sec (x)$

Schritt 5.2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.3.5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{1}{2} \csc (x) \sec (x)$

Schritt 5.2.3.5.2

Füge Klammern hinzu.

$x' = - \frac{1}{2} (\csc (x) \sec (x))$

Schritt 5.2.3.5.3

Füge Klammern hinzu.

$x' = - (\frac{1}{2} (\csc (x) \sec (x)))$

Schritt 5.2.3.6

Vereinige zu $c s c (2 x)$ .

$x' = - \csc (2 x)$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \csc (2 x)$