Algebra Beispiele

$x y^{4} - y = x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (x y^{4} - y) = \frac{d}{d y} (x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y^{4} - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x y^{4}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [x y^{4}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [x y^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y^{4}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x (4 y^{3}) + y^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x (4 y^{3}) + y^{4} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.2.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 x y^{3} + y^{4} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$4 x y^{3} + y^{4} x' - \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x y^{3} + y^{4} x' - 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 x y^{3} + y^{4} x' - 1$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$4 y^{3} x + y^{4} x' - 1$

Schritt 3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 y^{3} x + y^{4} x' - 1 = x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $x'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{3} x + y^{4} x' - 1 - x' = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $4 y^{3} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{4} x' - 1 - x' = - 4 y^{3} x$

Schritt 5.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{4} x' - x' = - 4 y^{3} x + 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x'$ aus $y^{4} x' - x'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x'$ aus $y^{4} x'$ heraus.

$x' y^{4} - x' = - 4 y^{3} x + 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x'$ aus $- x'$ heraus.

$x' y^{4} + x' \cdot - 1 = - 4 y^{3} x + 1$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' y^{4} + x' \cdot - 1$ heraus.

$x' (y^{4} - 1) = - 4 y^{3} x + 1$

Schritt 5.4

Schreibe $y^{4}$ als ${(y^{2})}^{2}$ um.

$x' ({(y^{2})}^{2} - 1) = - 4 y^{3} x + 1$

Schritt 5.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x' ({(y^{2})}^{2} - 1^{2}) = - 4 y^{3} x + 1$

Schritt 5.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y^{2}$ und $b = 1$ .

$x' ((y^{2} + 1) (y^{2} - 1)) = - 4 y^{3} x + 1$

Schritt 5.7

Faktorisiere.

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Schritt 5.7.1

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x' ((y^{2} + 1) (y^{2} - 1^{2})) = - 4 y^{3} x + 1$

Schritt 5.7.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.7.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$x' ((y^{2} + 1) ((y + 1) (y - 1))) = - 4 y^{3} x + 1$

Schritt 5.7.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x' ((y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)) = - 4 y^{3} x + 1$

Schritt 5.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$x' (y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1) = - 4 y^{3} x + 1$

Schritt 5.8

Teile jeden Ausdruck in $x' (y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1) = - 4 y^{3} x + 1$ durch $(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.8.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1) = - 4 y^{3} x + 1$ durch $(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{x' (y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} = \frac{- 4 y^{3} x}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} + \frac{1}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}$

Schritt 5.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 1$ .

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Schritt 5.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} = \frac{- 4 y^{3} x}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} + \frac{1}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}$

Schritt 5.8.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{- 4 y^{3} x}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} + \frac{1}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}$

Schritt 5.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 5.8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{- 4 y^{3} x}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} + \frac{1}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}$

Schritt 5.8.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 4 y^{3} x}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} + \frac{1}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}$

Schritt 5.8.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 5.8.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 4 y^{3} x}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} + \frac{1}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}$

Schritt 5.8.2.3.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- 4 y^{3} x}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} + \frac{1}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}$

Schritt 5.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{4 y^{3} x}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} + \frac{1}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{4 y^{3} x}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} + \frac{1}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}$