Algebra Beispiele

$y = {(4 x^{2} - 13)}^{- 14}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(4 x^{2} - 13)}^{- 14})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(4 x^{2} - 13)}^{14}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = 1$ und $g (y) = {(4 x^{2} - 13)}^{14}$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 13)}^{14} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [{(4 x^{2} - 13)}^{14}]}{{({(4 x^{2} - 13)}^{14})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 13)}^{14} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(4 x^{2} - 13)}^{14}]}{{({(4 x^{2} - 13)}^{14})}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x^{2} - 13)}^{14})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 13)}^{14} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(4 x^{2} - 13)}^{14}]}{{(4 x^{2} - 13)}^{14 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $14$ mit $2$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 13)}^{14} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(4 x^{2} - 13)}^{14}]}{{(4 x^{2} - 13)}^{28}}$

Schritt 3.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{{(4 x^{2} - 13)}^{14} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [{(4 x^{2} - 13)}^{14}]}{{(4 x^{2} - 13)}^{28}}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.4.1

Mutltipliziere ${(4 x^{2} - 13)}^{14}$ mit $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [{(4 x^{2} - 13)}^{14}]}{{(4 x^{2} - 13)}^{28}}$

Schritt 3.3.4.2

Subtrahiere $\frac{d}{d y} [{(4 x^{2} - 13)}^{14}]$ von $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d y} [{(4 x^{2} - 13)}^{14}]}{{(4 x^{2} - 13)}^{28}}$

Schritt 3.3.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\frac{d}{d y} [{(4 x^{2} - 13)}^{14}]}{{(4 x^{2} - 13)}^{28}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{14}$ und $g (y) = 4 x^{2} - 13$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x^{2} - 13$ .

$- \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{14}] \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 13]}{{(4 x^{2} - 13)}^{28}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 14$ .

$- \frac{14 {u_{1}}^{13} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 13]}{{(4 x^{2} - 13)}^{28}}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x^{2} - 13$ .

$- \frac{14 {(4 x^{2} - 13)}^{13} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 13]}{{(4 x^{2} - 13)}^{28}}$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(4 x^{2} - 13)}^{13}$ und ${(4 x^{2} - 13)}^{28}$ .

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Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere ${(4 x^{2} - 13)}^{13}$ aus $14 {(4 x^{2} - 13)}^{13} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 13]$ heraus.

$- \frac{{(4 x^{2} - 13)}^{13} (14 \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{28}}$

Schritt 3.5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.1.2.1

Faktorisiere ${(4 x^{2} - 13)}^{13}$ aus ${(4 x^{2} - 13)}^{28}$ heraus.

$- \frac{{(4 x^{2} - 13)}^{13} (14 \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{13} {(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Schritt 3.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{{(4 x^{2} - 13)}^{13} (14 \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{13} {(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Schritt 3.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{14 \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 13]}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Schritt 3.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 13$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 13]$ .

$- \frac{14 (\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Schritt 3.5.3

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$- \frac{14 (4 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$- \frac{14 (4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{14 (4 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$- \frac{14 (4 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{14 (8 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Schritt 3.8

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$- \frac{14 (8 x x' + \frac{d}{d y} [- 13])}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Schritt 3.9

Da $- 13$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 13$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$- \frac{14 (8 x x' + 0)}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Schritt 3.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.10.1

Addiere $8 x x'$ und $0$ .

$- \frac{14 (8 x x')}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $8$ mit $14$ .

$- \frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}} = 1$ um.

$- \frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}} = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}} = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}} = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $\frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}$ durch $1$ .

$\frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}} = - 1$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten mit ${(4 x^{2} - 13)}^{15}$ .

$\frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}} {(4 x^{2} - 13)}^{15} = - {(4 x^{2} - 13)}^{15}$

Schritt 5.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(4 x^{2} - 13)}^{15}$ .

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Schritt 5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{112 x x'}{{(4 x^{2} - 13)}^{15}} {(4 x^{2} - 13)}^{15} = - {(4 x^{2} - 13)}^{15}$

Schritt 5.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$112 x x' = - {(4 x^{2} - 13)}^{15}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $112 x x' = - {(4 x^{2} - 13)}^{15}$ durch $112 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $112 x x' = - {(4 x^{2} - 13)}^{15}$ durch $112 x$ .

$\frac{112 x x'}{112 x} = \frac{- {(4 x^{2} - 13)}^{15}}{112 x}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $112$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{112 x x'}{112 x} = \frac{- {(4 x^{2} - 13)}^{15}}{112 x}$

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- {(4 x^{2} - 13)}^{15}}{112 x}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- {(4 x^{2} - 13)}^{15}}{112 x}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- {(4 x^{2} - 13)}^{15}}{112 x}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}{112 x}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{{(4 x^{2} - 13)}^{15}}{112 x}$