Algebra Beispiele

$\ln (x + 2 y) = x^{4}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\ln (x + 2 y)) = \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x + 2 y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 2 y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 2 y$ .

$\frac{1}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{1}{x + 2 y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x + 2 y} (1 + \frac{d}{d x} [2 y])$

Schritt 2.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{x + 2 y} (1 + 2 \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{x + 2 y} (1 + 2 y')$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x + 2 y} (1 + 2 y')$ um.

$(1 + 2 y') \frac{1}{x + 2 y}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $1 + 2 y'$ mit $\frac{1}{x + 2 y}$ .

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} = 4 x^{3}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $x + 2 y$ .

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} (x + 2 y) = 4 x^{3} (x + 2 y)$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} (x + 2 y)$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2 y$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} (x + 2 y) = 4 x^{3} (x + 2 y)$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + 2 y' = 4 x^{3} (x + 2 y)$

Schritt 5.2.1.1.2

Stelle $1$ und $2 y'$ um.

$2 y' + 1 = 4 x^{3} (x + 2 y)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $4 x^{3} (x + 2 y)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' + 1 = 4 x^{3} x + 4 x^{3} (2 y)$

Schritt 5.2.2.1.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$2 y' + 1 = 4 (x \cdot x^{3}) + 4 x^{3} (2 y)$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 y' + 1 = 4 (x^{1} x^{3}) + 4 x^{3} (2 y)$

Schritt 5.2.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 y' + 1 = 4 x^{1 + 3} + 4 x^{3} (2 y)$

Schritt 5.2.2.1.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$2 y' + 1 = 4 x^{4} + 4 x^{3} (2 y)$

Schritt 5.2.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y' + 1 = 4 x^{4} + 4 \cdot 2 x^{3} y$

Schritt 5.2.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$2 y' + 1 = 4 x^{4} + 8 x^{3} y$

Schritt 5.2.2.1.5

Stelle $4 x^{4}$ und $8 x^{3} y$ um.

$2 y' + 1 = 8 x^{3} y + 4 x^{4}$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y' = 8 x^{3} y + 4 x^{4} - 1$

Schritt 5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y' = 8 x^{3} y + 4 x^{4} - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' = 8 x^{3} y + 4 x^{4} - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 y'}{2} = \frac{8 x^{3} y}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y'}{2} = \frac{8 x^{3} y}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{8 x^{3} y}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 5.3.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x^{3} y$ heraus.

$y' = \frac{2 (4 x^{3} y)}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.3.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y' = \frac{2 (4 x^{3} y)}{2 (1)} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.3.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (4 x^{3} y)}{2 \cdot 1} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.3.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{4 x^{3} y}{1} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.3.2.3.1.1.2.4

Dividiere $4 x^{3} y$ durch $1$ .

$y' = 4 x^{3} y + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.3.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 5.3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{4}$ heraus.

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 (2 x^{4})}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.3.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 (2 x^{4})}{2 (1)} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.3.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 (2 x^{4})}{2 \cdot 1} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.3.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 x^{4}}{1} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.3.2.3.1.2.2.4

Dividiere $2 x^{4}$ durch $1$ .

$y' = 4 x^{3} y + 2 x^{4} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.3.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = 4 x^{3} y + 2 x^{4} - \frac{1}{2}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y + 2 x^{4} - \frac{1}{2}$