Algebra Beispiele

$\frac{x^{2}}{x + y} = y^{2} + 6$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (\frac{x^{2}}{x + y}) = \frac{d}{d y} (y^{2} + 6)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = x^{2}$ und $g (y) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) - x^{2} \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x + y) (2 u \frac{d}{d y} [x]) - x^{2} \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$\frac{(x + y) (2 x \frac{d}{d y} [x]) - x^{2} \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + y$ .

$\frac{2 \cdot (x + y) x \frac{d}{d y} [x] - x^{2} \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{2 (x + y) x x' - x^{2} \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{2 (x + y) x x' - x^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.6

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{2 (x + y) x x' - x^{2} (x' + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x + y) x x' - x^{2} (x' + 1)}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 y) x x' - x^{2} (x' + 1)}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x \cdot x + 2 y x) x' - x^{2} (x' + 1)}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x x' + 2 y x x' - x^{2} (x' + 1)}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x x' + 2 y x x' - x^{2} x' - x^{2} \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.5.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.8.5.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) x' + 2 y x x' - x^{2} x' - x^{2} \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.5.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} x' + 2 y x x' - x^{2} x' - x^{2} \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} x' + 2 y x x' - x^{2} x' - x^{2}}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.5.2

Subtrahiere $x^{2} x'$ von $2 x^{2} x'$ .

$\frac{1 x^{2} x' + 2 y x x' - x^{2}}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.5.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} x' + 2 y x x' - x^{2}}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.6

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} + x^{2} x' + 2 x y x'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.7

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} + x^{2} x' + 2 x y x'$ heraus.

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Schritt 2.8.7.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x (- x) + x^{2} x' + 2 x y x'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.7.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} x'$ heraus.

$\frac{x (- x) + x (x x') + 2 x y x'}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.7.3

Faktorisiere $x$ aus $2 x y x'$ heraus.

$\frac{x (- x) + x (x x') + x (2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.7.4

Faktorisiere $x$ aus $x (- x) + x (x x')$ heraus.

$\frac{x (- x + x x') + x (2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.7.5

Faktorisiere $x$ aus $x (- x + x x') + x (2 y x')$ heraus.

$\frac{x (- x + x x' + 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x (- (x) + x x' + 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.9

Faktorisiere $- 1$ aus $x x'$ heraus.

$\frac{x (- (x) - (- x x') + 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (- x x')$ heraus.

$\frac{x (- (x - x x') + 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.11

Faktorisiere $- 1$ aus $2 y x'$ heraus.

$\frac{x (- (x - x x') - (- 2 y x'))}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x - x x') - (- 2 y x')$ heraus.

$\frac{x (- (x - x x' - 2 y x'))}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.13

Schreibe $- (x - x x' - 2 y x')$ als $- 1 (x - x x' - 2 y x')$ um.

$\frac{x (- 1 (x - x x' - 2 y x'))}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + 6$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [6]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [6]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [6]$

Schritt 3.3

Da $6$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 y + 0$

Schritt 3.4

Addiere $2 y$ und $0$ .

$2 y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = 2 y$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = 2 y$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = 2 y$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}}{- 1} = \frac{2 y}{- 1}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}}{1} = \frac{2 y}{- 1}$

Schritt 5.1.2.2

Dividiere $\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$ durch $1$ .

$\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = \frac{2 y}{- 1}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 y}{- 1}$ .

$\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = - 1 \cdot (2 y)$

Schritt 5.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot (2 y)$ als $- (2 y)$ um.

$\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = - (2 y)$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = - 2 y$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache $\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + y)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x (x - x x' - 2 y x') = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (- x x') + x (- 2 y x') = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x (- x x') + x (- 2 y x') = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - x (x x') + x (- 2 y x') = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - x (x x') - 2 x y x' = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$x^{2} - (x \cdot x) x' - 2 x y x' = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - x^{2} x' - 2 x y x' = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.5

Bewege $x^{2}$ .

$x^{2} - x' x^{2} - 2 x y x' = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.6

Bewege $y$ .

$x^{2} - x' x^{2} - 2 x x' y = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.7

Bewege $x$ .

$x^{2} - x' x^{2} - 2 x' x y = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.8

Bewege $x^{2}$ .

$- x' x^{2} - 2 x' x y + x^{2} = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.9

Stelle $- x' x^{2}$ und $- 2 x' x y$ um.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.4

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $- 2 y {(x + y)}^{2}$ .

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Schritt 5.4.1.1

Forme um.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = 0 + 0 - 2 y {(x + y)}^{2}$

Schritt 5.4.1.2

Schreibe ${(x + y)}^{2}$ als $(x + y) (x + y)$ um.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y ((x + y) (x + y))$

Schritt 5.4.1.3

Multipliziere $(x + y) (x + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x (x + y) + y (x + y))$

Schritt 5.4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x \cdot x + x y + y (x + y))$

Schritt 5.4.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)$

Schritt 5.4.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x^{2} + x y + y x + y \cdot y)$

Schritt 5.4.1.4.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x^{2} + x y + y x + y^{2})$

Schritt 5.4.1.4.2

Addiere $x y$ und $y x$ .

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Schritt 5.4.1.4.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x^{2} + x y + x y + y^{2})$

Schritt 5.4.1.4.2.2

Addiere $x y$ und $x y$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x^{2} + 2 x y + y^{2})$

Schritt 5.4.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 y (2 x y) - 2 y \cdot y^{2}$

Schritt 5.4.1.6

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1.6.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1.6.1.1

Bewege $y$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 (y \cdot y) (2 x) - 2 y \cdot y^{2}$

Schritt 5.4.1.6.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 y^{2} (2 x) - 2 y \cdot y^{2}$

Schritt 5.4.1.6.2

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1.6.2.1

Bewege $y^{2}$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 y^{2} (2 x) - 2 (y^{2} y)$

Schritt 5.4.1.6.2.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 5.4.1.6.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 y^{2} (2 x) - 2 (y^{2} y^{1})$

Schritt 5.4.1.6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 y^{2} (2 x) - 2 y^{2 + 1}$

Schritt 5.4.1.6.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 y^{2} (2 x) - 2 y^{3}$

Schritt 5.4.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 \cdot 2 y^{2} x - 2 y^{3}$

Schritt 5.4.1.7.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$

Schritt 5.4.2

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x' x y - x' x^{2} = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $x' x$ aus $- 2 x' x y - x' x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.4.3.1

Faktorisiere $x' x$ aus $- 2 x' x y$ heraus.

$x' x (- 2 y) - x' x^{2} = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $x' x$ aus $- x' x^{2}$ heraus.

$x' x (- 2 y) + x' x (- 1 x) = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$

Schritt 5.4.3.3

Faktorisiere $x' x$ aus $x' x (- 2 y) + x' x (- 1 x)$ heraus.

$x' x (- 2 y - 1 x) = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$

Schritt 5.4.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x' x (- 2 y - x) = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$

Schritt 5.4.5

Teile jeden Ausdruck in $x' x (- 2 y - x) = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$ durch $x (- 2 y - x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x' x (- 2 y - x) = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$ durch $x (- 2 y - x)$ .

$\frac{x' x (- 2 y - x)}{x (- 2 y - x)} = \frac{- 2 y x^{2}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' x (- 2 y - x)}{x (- 2 y - x)} = \frac{- 2 y x^{2}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (- 2 y - x)}{- 2 y - x} = \frac{- 2 y x^{2}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 y - x$ .

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Schritt 5.4.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (- 2 y - x)}{- 2 y - x} = \frac{- 2 y x^{2}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- 2 y x^{2}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.4.5.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 y x^{2}$ heraus.

$x' = \frac{x (- 2 y x)}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.5.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{x (- 2 y x)}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{- 2 y x}{- 2 y - x} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.5.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} + \frac{- 4 y^{2}}{- 2 y - x} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} - \frac{4 y^{2}}{- 2 y - x} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} - \frac{4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.5.3.1.6.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} - \frac{4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{x (- x)}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.5.3.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} - \frac{4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{x (- x)}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.1.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} - \frac{4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x}{- 2 y - x}$

Schritt 5.4.5.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} - \frac{4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Schritt 5.4.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{- 2 y x - 4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Schritt 5.4.5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.5.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.5.3.3.1.1

Faktorisiere $2 y$ aus $- 2 y x - 4 y^{2}$ heraus.

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Schritt 5.4.5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2 y$ aus $- 2 y x$ heraus.

$x' = \frac{2 y (- 1 x) - 4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Schritt 5.4.5.3.3.1.1.2

Faktorisiere $2 y$ aus $- 4 y^{2}$ heraus.

$x' = \frac{2 y (- 1 x) + 2 y (- 2 y)}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Schritt 5.4.5.3.3.1.1.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (- 1 x) + 2 y (- 2 y)$ heraus.

$x' = \frac{2 y (- 1 x - 2 y)}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Schritt 5.4.5.3.3.1.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x' = \frac{2 y (- x - 2 y)}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Schritt 5.4.5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x - 2 y$ und $- 2 y - x$ .

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Schritt 5.4.5.3.3.2.1

Stelle die Terme um.

$x' = \frac{2 y (- x - 2 y)}{- x - 2 y} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Schritt 5.4.5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{2 y (- x - 2 y)}{- x - 2 y} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Schritt 5.4.5.3.3.2.3

Dividiere $2 y$ durch $1$ .

$x' = 2 y - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Schritt 5.4.5.3.4

Um $2 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 2 y - x}{- 2 y - x}$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 y (- 2 y - x)}{- 2 y - x} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Schritt 5.4.5.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 y (- 2 y - x) - x}{- 2 y - x}$

Schritt 5.4.5.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.5.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 y (- 2 y) + 2 y (- x) - x}{- 2 y - x}$

Schritt 5.4.5.3.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 \cdot - 2 y \cdot y + 2 y (- x) - x}{- 2 y - x}$

Schritt 5.4.5.3.6.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 \cdot - 2 y \cdot y + 2 \cdot - 1 y x - x}{- 2 y - x}$

Schritt 5.4.5.3.6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.5.3.6.4.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.5.3.6.4.1.1

Bewege $y$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 \cdot - 2 (y \cdot y) + 2 \cdot - 1 y x - x}{- 2 y - x}$

Schritt 5.4.5.3.6.4.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 \cdot - 2 y^{2} + 2 \cdot - 1 y x - x}{- 2 y - x}$

Schritt 5.4.5.3.6.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} + 2 \cdot - 1 y x - x}{- 2 y - x}$

Schritt 5.4.5.3.6.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} - 2 y x - x}{- 2 y - x}$

Schritt 5.4.5.3.7

Um $\frac{- 4 y^{2} - 2 y x - x}{- 2 y - x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} - 2 y x - x}{- 2 y - x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 5.4.5.3.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (- 2 y - x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.4.5.3.8.1

Mutltipliziere $\frac{- 4 y^{2} - 2 y x - x}{- 2 y - x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{(- 4 y^{2} - 2 y x - x) x}{(- 2 y - x) x}$

Schritt 5.4.5.3.8.2

Stelle die Faktoren von $(- 2 y - x) x$ um.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{(- 4 y^{2} - 2 y x - x) x}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{- 2 y^{3} + (- 4 y^{2} - 2 y x - x) x}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.5.3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x' = \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} x - 2 y x \cdot x - x \cdot x}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.10.2

Vereinfache.

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Schritt 5.4.5.3.10.2.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.5.3.10.2.1.1

Bewege $x$ .

$x' = \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} x - 2 y (x \cdot x) - x \cdot x}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.10.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x' = \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} x - 2 y x^{2} - x \cdot x}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.10.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.5.3.10.2.2.1

Bewege $x$ .

$x' = \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} x - 2 y x^{2} - (x \cdot x)}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.10.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x' = \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} x - 2 y x^{2} - x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.4.5.3.11.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y^{3}$ heraus.

$x' = \frac{- (2 y^{3}) - 4 y^{2} x - 2 y x^{2} - x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.11.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 y^{2} x$ heraus.

$x' = \frac{- (2 y^{3}) - (4 y^{2} x) - 2 y x^{2} - x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.11.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y^{3}) - (4 y^{2} x)$ heraus.

$x' = \frac{- (2 y^{3} + 4 y^{2} x) - 2 y x^{2} - x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y x^{2}$ heraus.

$x' = \frac{- (2 y^{3} + 4 y^{2} x) - (2 y x^{2}) - x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.11.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y^{3} + 4 y^{2} x) - (2 y x^{2})$ heraus.

$x' = \frac{- (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2}) - x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.11.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x' = \frac{- (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2}) - (x^{2})}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.11.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2}) - (x^{2})$ heraus.

$x' = \frac{- (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.11.8

Schreibe $- (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})$ als $- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})$ um.

$x' = \frac{- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- 2 y - x)}$

Schritt 5.4.5.3.11.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y$ heraus.

$x' = \frac{- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- (2 y) - x)}$

Schritt 5.4.5.3.11.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$x' = \frac{- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- (2 y) - (x))}$

Schritt 5.4.5.3.11.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y) - (x)$ heraus.

$x' = \frac{- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- (2 y + x))}$

Schritt 5.4.5.3.11.12

Schreibe $- (2 y + x)$ als $- 1 (2 y + x)$ um.

$x' = \frac{- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- 1 (2 y + x))}$

Schritt 5.4.5.3.11.13

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- 1 (2 y + x))}$

Schritt 5.4.5.3.11.14

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2}}{x (2 y + x)}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2}}{x (2 y + x)}$