Algebra Beispiele

$x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16} = \frac{4}{9}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{4}{9}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16} - \frac{4}{9} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16} - \frac{4}{9}$ .

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} - \frac{4}{9} = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{1}{16}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = 0$

Schritt 2.3

Um $- \frac{4}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9} - \frac{4}{9} \cdot \frac{16}{16} = 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $144$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{9}{16 \cdot 9} - \frac{4}{9} \cdot \frac{16}{16} = 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $16$ mit $9$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{9}{144} - \frac{4}{9} \cdot \frac{16}{16} = 0$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $\frac{4}{9}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{9}{144} - \frac{4 \cdot 16}{9 \cdot 16} = 0$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $9$ mit $16$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{9}{144} - \frac{4 \cdot 16}{144} = 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{9 - 4 \cdot 16}{144} = 0$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{9 - 64}{144} = 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $64$ von $9$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{- 55}{144} = 0$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} + \frac{x}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Schritt 3

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Schritt 4

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 2 + x}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} \cdot 2 + x$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} \cdot 2$ heraus.

$\frac{x (x \cdot 2) + x}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Schritt 6.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (x \cdot 2) + x}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x (x \cdot 2) + x \cdot 1}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Schritt 6.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (x \cdot 2) + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{x (x \cdot 2 + 1)}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Schritt 6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x (2 x + 1)}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Schritt 7

Um $\frac{x (2 x + 1)}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{72}{72}$ .

$\frac{x (2 x + 1)}{2} \cdot \frac{72}{72} - \frac{55}{144} = 0$

Schritt 8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $144$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{x (2 x + 1)}{2}$ mit $\frac{72}{72}$ .

$\frac{x (2 x + 1) \cdot 72}{2 \cdot 72} - \frac{55}{144} = 0$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $72$ .

$\frac{x (2 x + 1) \cdot 72}{144} - \frac{55}{144} = 0$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (2 x + 1) \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x (2 x) + x \cdot 1) \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Schritt 10.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(2 x \cdot x + x \cdot 1) \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(2 x \cdot x + x) \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Schritt 10.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{(2 (x \cdot x) + x) \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{(2 x^{2} + x) \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Schritt 10.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} \cdot 72 + x \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Schritt 10.6

Mutltipliziere $72$ mit $2$ .

$\frac{144 x^{2} + x \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Schritt 10.7

Bringe $72$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{144 x^{2} + 72 x - 55}{144} = 0$

Schritt 10.8

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 10.8.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 144 \cdot - 55 = - 7920$ und deren Summe gleich $b = 72$ ist.

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Schritt 10.8.1.1

Faktorisiere $72$ aus $72 x$ heraus.

$\frac{144 x^{2} + 72 (x) - 55}{144} = 0$

Schritt 10.8.1.2

Schreibe $72$ um als $- 60$ plus $132$

$\frac{144 x^{2} + (- 60 + 132) x - 55}{144} = 0$

Schritt 10.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{144 x^{2} - 60 x + 132 x - 55}{144} = 0$

Schritt 10.8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 10.8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(144 x^{2} - 60 x) + 132 x - 55}{144} = 0$

Schritt 10.8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{12 x (12 x - 5) + 11 (12 x - 5)}{144} = 0$

Schritt 10.8.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $12 x - 5$ .

$\frac{(12 x - 5) (12 x + 11)}{144} = 0$

Schritt 11

Setze den Zähler gleich Null.

$(12 x - 5) (12 x + 11) = 0$

Schritt 12

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$12 x - 5 = 0$

$12 x + 11 = 0$

Schritt 12.2

Setze $12 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Setze $12 x - 5$ gleich $0$ .

$12 x - 5 = 0$

Schritt 12.2.2

Löse $12 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x = 5$

Schritt 12.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 5$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 12.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 5$ durch $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{5}{12}$

Schritt 12.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 12.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{12} = \frac{5}{12}$

Schritt 12.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{12}$

Schritt 12.3

Setze $12 x + 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.3.1

Setze $12 x + 11$ gleich $0$ .

$12 x + 11 = 0$

Schritt 12.3.2

Löse $12 x + 11 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.3.2.1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 x = - 11$

Schritt 12.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $12 x = - 11$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 12.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x = - 11$ durch $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 11}{12}$

Schritt 12.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 12.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 11}{12}$

Schritt 12.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 11}{12}$

Schritt 12.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{11}{12}$

Schritt 12.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(12 x - 5) (12 x + 11) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{5}{12}, - \frac{11}{12}$