Algebra Beispiele

$q (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 8$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 8$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 8$

Schritt 4.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 + 3 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 - 8$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 1 + 3 - 6 \cdot - 1 - 8$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$- 1 + 3 + 6 - 8$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $- 1$ und $3$ .

$2 + 6 - 8$

Schritt 4.2.2

Addiere $2$ und $6$ .

$8 - 8$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$0$

Schritt 5

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 8}{x + 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 1$	$1$	$3$	$- 6$	$- 8$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 1$	$1$	$3$	$- 6$	$- 8$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 1$	$1$	$3$	$- 6$	$- 8$
		$- 1$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$3$	$- 6$	$- 8$
		$- 1$
	$1$	$2$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 6)$ .

$- 1$	$1$	$3$	$- 6$	$- 8$
		$- 1$	$- 2$
	$1$	$2$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$3$	$- 6$	$- 8$
		$- 1$	$- 2$
	$1$	$2$	$- 8$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 8)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(8)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 8)$ .

$- 1$	$1$	$3$	$- 6$	$- 8$
		$- 1$	$- 2$	$8$
	$1$	$2$	$- 8$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$3$	$- 6$	$- 8$
		$- 1$	$- 2$	$8$
	$1$	$2$	$- 8$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{2} + 2 x - 8$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{2} + 2 x - 8$

Schritt 7

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $2$ ist.

$- 2, 4$

Schritt 7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 1) + (x - 2) (x + 4)$

$(x + 1) (x - 2) (x + 4)$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{3} - 8 + 3 x^{2} - 6 x = 0$

Schritt 8.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x^{3} - 2^{3} + 3 x^{2} - 6 x = 0$

Schritt 8.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) + 3 x^{2} - 6 x = 0$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) + 3 x^{2} - 6 x = 0$

Schritt 8.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 3 x^{2} - 6 x = 0$

Schritt 8.5

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2} - 6 x$ heraus.

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Schritt 8.5.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 3 x (x) - 6 x = 0$

Schritt 8.5.2

Faktorisiere $3 x$ aus $- 6 x$ heraus.

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Schritt 8.5.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x) + 3 x (- 2)$ heraus.

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 3 x (x - 2) = 0$

Schritt 8.6

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 3 x (x - 2)$ heraus.

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Schritt 8.6.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $3 x (x - 2)$ heraus.

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + (x - 2) (3 x) = 0$

Schritt 8.6.2

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + (x - 2) (3 x)$ heraus.

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4 + 3 x) = 0$

Schritt 8.7

Addiere $2 x$ und $3 x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 5 x + 4) = 0$

Schritt 8.8

Faktorisiere.

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Schritt 8.8.1

Faktorisiere $x^{2} + 5 x + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.8.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $5$ ist.

$1, 4$

Schritt 8.8.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 2) ((x + 1) (x + 4)) = 0$

Schritt 8.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 2) (x + 1) (x + 4) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 10

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 11

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 11.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 12

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 12.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x + 1) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1, - 4$

Schritt 14