Algebra Beispiele

${(x^{2} + 1)}^{4}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(x^{2})}^{4 - k} \cdot {(1)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 0} \cdot {(1)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 1} \cdot {(1)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 2} \cdot {(1)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 3} \cdot {(1)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 4} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(x^{2})}^{4} \cdot {(1)}^{0} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Multipliziere $1$ mit ${(1)}^{0}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.1

Bewege ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 \cdot {(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere ${(1)}^{0}$ mit $1$ .

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Schritt 4.1.2.1

Potenziere $1$ mit $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} \cdot {(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1^{0 + 1} \cdot {(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.1.3

Addiere $0$ und $1$ .

$1^{1} \cdot {(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache $1^{1} \cdot {(x^{2})}^{4}$ .

${(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{4}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2 \cdot 4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x^{8} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 \cdot x^{2 \cdot 3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x^{8} + 4 \cdot x^{6} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.5

Berechne den Exponenten.

$x^{8} + 4 x^{6} \cdot 1 + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.7

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 \cdot x^{2 \cdot 2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 \cdot x^{4} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.10

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{1}$ .

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Schritt 4.10.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 \cdot x^{2 \cdot 1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 \cdot x^{2} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Schritt 4.13

Multipliziere $1$ mit ${(1)}^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.13.1

Bewege ${(1)}^{4}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + {(1)}^{4} \cdot 1 \cdot {(x^{2})}^{0}$

Schritt 4.13.2

Mutltipliziere ${(1)}^{4}$ mit $1$ .

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Schritt 4.13.2.1

Potenziere $1$ mit $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + {(1)}^{4} \cdot 1^{1} \cdot {(x^{2})}^{0}$

Schritt 4.13.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1^{4 + 1} \cdot {(x^{2})}^{0}$

Schritt 4.13.3

Addiere $4$ und $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1^{5} \cdot {(x^{2})}^{0}$

Schritt 4.14

Vereinfache $1^{5} \cdot {(x^{2})}^{0}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1^{5}$

Schritt 4.15

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1$