Algebra Beispiele

$x^{2} - k x + 196 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - k$ und $c = 196$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{k \pm \sqrt{{(- k)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 196)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot 196$ als ${(2 \cdot 1 \cdot 14)}^{2}$ um.

$x = \frac{k \pm \sqrt{{(- k)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 14)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - k$ und $b = 2 \cdot 1 \cdot 14$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 2 \cdot 1 \cdot 14) (- k - (2 \cdot 1 \cdot 14))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Multipliziere $2 \cdot 1 \cdot 14$ .

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Schritt 3.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 2 \cdot 14) (- k - (2 \cdot 1 \cdot 14))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 28) (- k - (2 \cdot 1 \cdot 14))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.2

Multipliziere $- (2 \cdot 1 \cdot 14)$ .

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Schritt 3.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 28) (- k - (2 \cdot 14))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 28) (- k - 1 \cdot 28)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $28$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 28) (- k - 28)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 28) (- k - 28)}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot 196$ als ${(2 \cdot 1 \cdot 14)}^{2}$ um.

$x = \frac{k \pm \sqrt{{(- k)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 14)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - k$ und $b = 2 \cdot 1 \cdot 14$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 2 \cdot 1 \cdot 14) (- k - (2 \cdot 1 \cdot 14))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Multipliziere $2 \cdot 1 \cdot 14$ .

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Schritt 4.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 2 \cdot 14) (- k - (2 \cdot 1 \cdot 14))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 28) (- k - (2 \cdot 1 \cdot 14))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.2

Multipliziere $- (2 \cdot 1 \cdot 14)$ .

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Schritt 4.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 28) (- k - (2 \cdot 14))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 28) (- k - 1 \cdot 28)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $28$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 28) (- k - 28)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 28) (- k - 28)}}{2}$

Schritt 4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{k + \sqrt{(- k + 28) (- k - 28)}}{2}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot 196$ als ${(2 \cdot 1 \cdot 14)}^{2}$ um.

$x = \frac{k \pm \sqrt{{(- k)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 14)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - k$ und $b = 2 \cdot 1 \cdot 14$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 2 \cdot 1 \cdot 14) (- k - (2 \cdot 1 \cdot 14))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Multipliziere $2 \cdot 1 \cdot 14$ .

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Schritt 5.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 2 \cdot 14) (- k - (2 \cdot 1 \cdot 14))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 28) (- k - (2 \cdot 1 \cdot 14))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.2

Multipliziere $- (2 \cdot 1 \cdot 14)$ .

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Schritt 5.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 28) (- k - (2 \cdot 14))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 28) (- k - 1 \cdot 28)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $28$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 28) (- k - 28)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{k \pm \sqrt{(- k + 28) (- k - 28)}}{2}$

Schritt 5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{k - \sqrt{(- k + 28) (- k - 28)}}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{k + \sqrt{(- k + 28) (- k - 28)}}{2}$

$x = \frac{k - \sqrt{(- k + 28) (- k - 28)}}{2}$