Algebra Beispiele

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1^{2} = 0$

Schritt 1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 \cos (x) = 2 \cdot \cos (x) \cdot 1$

Schritt 1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\cos^{2} (x) + 2 \cdot \cos (x) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = \cos (x)$ und $b = 1$ .

${(\cos (x) + 1)}^{2} = 0$

Schritt 2

Setze $\cos (x) + 1$ gleich $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = - 1$

Schritt 3.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 3.4

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - π$

Schritt 3.5

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 3.6

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.7

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$