Algebra Beispiele

$x y^{6} - y = x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (x y^{6} - y) = \frac{d}{d y} (x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y^{6} - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x y^{6}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [x y^{6}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [x y^{6}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y^{6}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{6}] + y^{6} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$x (6 y^{5}) + y^{6} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x (6 y^{5}) + y^{6} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.2.4

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' - \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' - 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' - 1$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1$

Schritt 3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1 = x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $x'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1 - x' = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $6 y^{5} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{6} x' - 1 - x' = - 6 y^{5} x$

Schritt 5.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{6} x' - x' = - 6 y^{5} x + 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x'$ aus $y^{6} x' - x'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x'$ aus $y^{6} x'$ heraus.

$x' y^{6} - x' = - 6 y^{5} x + 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x'$ aus $- x'$ heraus.

$x' y^{6} + x' \cdot - 1 = - 6 y^{5} x + 1$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' y^{6} + x' \cdot - 1$ heraus.

$x' (y^{6} - 1) = - 6 y^{5} x + 1$

Schritt 5.4

Schreibe $y^{6}$ als ${(y^{2})}^{3}$ um.

$x' ({(y^{2})}^{3} - 1) = - 6 y^{5} x + 1$

Schritt 5.5

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x' ({(y^{2})}^{3} - 1^{3}) = - 6 y^{5} x + 1$

Schritt 5.6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = y^{2}$ und $b = 1$ .

$x' ((y^{2} - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Schritt 5.7

Faktorisiere.

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Schritt 5.7.1

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x' ((y^{2} - 1^{2}) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Schritt 5.7.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$x' ((y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Schritt 5.7.1.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$x' ((y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Schritt 5.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1^{2}) = - 6 y^{5} x + 1$

Schritt 5.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$

Schritt 5.9

Teile jeden Ausdruck in $x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$ durch $(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.9.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$ durch $(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)$ .

$\frac{x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Schritt 5.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 5.9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.9.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{(y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Schritt 5.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 5.9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.9.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{{(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Schritt 5.9.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1$ .

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Schritt 5.9.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{{(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Schritt 5.9.2.3.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Schritt 5.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.9.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.9.3.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.9.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.9.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2 \cdot 2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Schritt 5.9.3.1.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Schritt 5.9.3.1.1.2

Schreibe $y^{4} + y^{2} + 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.9.3.1.1.2.1

Forme den mittleren Term um.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Schritt 5.9.3.1.1.2.2

Ordne Terme um.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2})} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Schritt 5.9.3.1.1.2.3

Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2})} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Schritt 5.9.3.1.1.2.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y^{2} + 1$ und $b = y$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Schritt 5.9.3.1.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 5.9.3.1.1.2.5.1

Stelle die Terme um.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Schritt 5.9.3.1.1.2.5.2

Stelle die Terme um.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Schritt 5.9.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Schritt 5.9.3.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.9.3.1.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.9.3.1.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2 \cdot 2} + y^{2} + 1)}$

Schritt 5.9.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 1)}$

Schritt 5.9.3.1.3.2

Schreibe $y^{4} + y^{2} + 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.9.3.1.3.2.1

Forme den mittleren Term um.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1)}$

Schritt 5.9.3.1.3.2.2

Ordne Terme um.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2})}$

Schritt 5.9.3.1.3.2.3

Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2})}$

Schritt 5.9.3.1.3.2.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y^{2} + 1$ und $b = y$ .

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y))}$

Schritt 5.9.3.1.3.2.5

Vereinfache.

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Schritt 5.9.3.1.3.2.5.1

Stelle die Terme um.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y))}$

Schritt 5.9.3.1.3.2.5.2

Stelle die Terme um.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1))}$

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$