Algebra Beispiele

$y = \ln (x^{5})$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \ln (y^{5})$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (y^{5}) = x$ um.

$\ln (y^{5}) = x$

Schritt 2.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y^{5})} = e^{x}$

Schritt 2.3

Schreibe $\ln (y^{5}) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x} = y^{5}$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Schreibe die Gleichung als $y^{5} = e^{x}$ um.

$y^{5} = e^{x}$

Schritt 2.4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[5]{e^{x}}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{e^{x}}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{e^{x}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \ln (x^{5})$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\ln (x^{5}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x^{5})) = \sqrt[5]{e^{\ln (x^{5})}}$

Schritt 4.2.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\ln (x^{5})) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Schritt 4.2.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\ln (x^{5})) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\sqrt[5]{e^{x}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln ({(\sqrt[5]{e^{x}})}^{5})$

Schritt 4.3.3

Schreibe ${\sqrt[5]{e^{x}}}^{5}$ als $e^{x}$ um.

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Schritt 4.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{e^{x}}$ als $e^{\frac{x}{5}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln ({(e^{\frac{x}{5}})}^{5})$

Schritt 4.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln (e^{\frac{x}{5} \cdot 5})$

Schritt 4.3.3.3

Kombiniere $\frac{x}{5}$ und $5$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln (e^{\frac{x \cdot 5}{5}})$

Schritt 4.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln (e^{\frac{x \cdot 5}{5}})$

Schritt 4.3.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Schritt 4.3.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = x \ln (e)$

Schritt 4.3.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = x \cdot 1$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{e^{x}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \ln (x^{5})$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{e^{x}}$