Algebra Beispiele

$\log_{\frac{1}{5}} (x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \log_{\frac{1}{5}} (y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$ um.

$\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$

Schritt 2.2

Schreibe $\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

${(\frac{1}{5})}^{x} = y$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $y = {(\frac{1}{5})}^{x}$ um.

$y = {(\frac{1}{5})}^{x}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache ${(\frac{1}{5})}^{x}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$y = \frac{1^{x}}{5^{x}}$

Schritt 2.3.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{1}{5^{x}}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\log_{\frac{1}{5}} (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{\frac{1}{5}} (x)) = \frac{1}{5^{\log_{\frac{1}{5}} (x)}}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{1}{5^{x}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1}{5^{x}}) = \log_{\frac{1}{5}} (\frac{1}{5^{x}})$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$