Algebra Beispiele

$\frac{- 2 x - 1}{x + 5}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{- 2 y - 1}{y + 5}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{- 2 y - 1}{y + 5} = x$ um.

$\frac{- 2 y - 1}{y + 5} = x$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y + 5, 1$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y + 5, 1$

Schritt 2.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y + 5$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{- 2 y - 1}{y + 5} = x$ mit $y + 5$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{- 2 y - 1}{y + 5} = x$ mit $y + 5$ .

$\frac{- 2 y - 1}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 5$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 y - 1}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 y - 1 = x (y + 5)$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 y - 1 = x y + x \cdot 5$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 2 y - 1 = x y + 5 x$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y - 1 - x y = 5 x$

Schritt 2.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y - x y = 5 x + 1$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y - x y$ heraus.

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y$ heraus.

$y \cdot - 2 - x y = 5 x + 1$

Schritt 2.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$y \cdot - 2 + y (- x) = 5 x + 1$

Schritt 2.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 2 + y (- x)$ heraus.

$y (- 2 - x) = 5 x + 1$

Schritt 2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (- 2 - x) = 5 x + 1$ durch $- 2 - x$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- 2 - x) = 5 x + 1$ durch $- 2 - x$ .

$\frac{y (- 2 - x)}{- 2 - x} = \frac{5 x}{- 2 - x} + \frac{1}{- 2 - x}$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 - x$ .

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Schritt 2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- 2 - x)}{- 2 - x} = \frac{5 x}{- 2 - x} + \frac{1}{- 2 - x}$

Schritt 2.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{5 x}{- 2 - x} + \frac{1}{- 2 - x}$

Schritt 2.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{5 x + 1}{- 2 - x}$

Schritt 2.4.4.3.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y = \frac{5 x + 1}{- 1 (2) - x}$

Schritt 2.4.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{5 x + 1}{- 1 (2) - (x)}$

Schritt 2.4.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (x)$ heraus.

$y = \frac{5 x + 1}{- 1 (2 + x)}$

Schritt 2.4.4.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5 x + 1}{2 + x}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x + 1}{2 + x}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x + 1}{2 + x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{- 2 x - 1}{x + 5}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{5 (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) + 1}{2 + \frac{- 2 x - 1}{x + 5}}$

Schritt 4.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{5 (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) + 1}{2 + \frac{- 2 x - 1}{x + 5}}$

Schritt 4.2.4

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $x + 5$ .

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{5 \frac{- 2 x - 1}{x + 5} + 1}{2 + \frac{- 2 x - 1}{x + 5}}$ mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - (\frac{x + 5}{x + 5} \cdot \frac{5 (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) + 1}{2 + \frac{- 2 x - 1}{x + 5}})$

Schritt 4.2.4.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{(x + 5) (5 (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) + 1)}{(x + 5) (2 + \frac{- 2 x - 1}{x + 5})}$

Schritt 4.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{(x + 5) (5 (\frac{- 2 x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 2 + (x + 5) (\frac{- 2 x - 1}{x + 5})}$

Schritt 4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 4.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{(x + 5) (5 (\frac{- 2 x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 2 + (x + 5) (\frac{- 2 x - 1}{x + 5})}$

Schritt 4.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{(x + 5) (5 (\frac{- 2 x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 2 - 2 x - 1}$

Schritt 4.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.7.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $(x + 5) \cdot 5 \frac{- 2 x - 1}{x + 5} + (x + 5) \cdot 1$ heraus.

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Schritt 4.2.7.1.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $(x + 5) \cdot 5 \frac{- 2 x - 1}{x + 5}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{(x + 5) (5 (\frac{- 2 x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 2 - 2 x - 1}$

Schritt 4.2.7.1.2

Faktorisiere $x + 5$ aus $(x + 5) \cdot 1$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{(x + 5) (5 (\frac{- 2 x - 1}{x + 5})) + (x + 5) (1)}{(x + 5) \cdot 2 - 2 x - 1}$

Schritt 4.2.7.1.3

Faktorisiere $x + 5$ aus $(x + 5) (5 \frac{- 2 x - 1}{x + 5}) + (x + 5) (1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{(x + 5) (5 (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) + 1)}{(x + 5) \cdot 2 - 2 x - 1}$

Schritt 4.2.7.2

Kombiniere $5$ und $\frac{- 2 x - 1}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{(x + 5) (\frac{5 (- 2 x - 1)}{x + 5} + 1)}{(x + 5) \cdot 2 - 2 x - 1}$

Schritt 4.2.7.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{(x + 5) (\frac{5 (- 2 x - 1)}{x + 5} + \frac{x + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 2 - 2 x - 1}$

Schritt 4.2.7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{(x + 5) (\frac{5 (- 2 x - 1) + x + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 2 - 2 x - 1}$

Schritt 4.2.7.5

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{(x + 5) (\frac{x + 5 (- 2 x - 1) + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 2 - 2 x - 1}$

Schritt 4.2.7.6

Schreibe $\frac{x + 5 (- 2 x - 1) + 5}{x + 5}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.7.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{(x + 5) (\frac{x + 5 (- 2 x) + 5 \cdot - 1 + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 2 - 2 x - 1}$

Schritt 4.2.7.6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{(x + 5) (\frac{x - 10 x + 5 \cdot - 1 + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 2 - 2 x - 1}$

Schritt 4.2.7.6.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{(x + 5) (\frac{x - 10 x - 5 + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 2 - 2 x - 1}$

Schritt 4.2.7.6.4

Subtrahiere $10 x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{(x + 5) (\frac{- 9 x - 5 + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 2 - 2 x - 1}$

Schritt 4.2.7.6.5

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{(x + 5) (\frac{- 9 x + 0}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 2 - 2 x - 1}$

Schritt 4.2.7.6.6

Addiere $- 9 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{(x + 5) (\frac{- 9 x}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 2 - 2 x - 1}$

Schritt 4.2.7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{(x + 5) \cdot (- 1 \frac{9 x}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 2 - 2 x - 1}$

Schritt 4.2.7.8

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{- (x + 5) \frac{9 x}{x + 5}}{(x + 5) \cdot 2 - 2 x - 1}$

Schritt 4.2.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{- (x + 5) \frac{9 x}{x + 5}}{x \cdot 2 + 5 \cdot 2 - 2 x - 1}$

Schritt 4.2.8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{- (x + 5) \frac{9 x}{x + 5}}{2 \cdot x + 5 \cdot 2 - 2 x - 1}$

Schritt 4.2.8.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{- (x + 5) \frac{9 x}{x + 5}}{2 \cdot x + 10 - 2 x - 1}$

Schritt 4.2.8.4

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{- (x + 5) \frac{9 x}{x + 5}}{0 + 10 - 1}$

Schritt 4.2.8.5

Addiere $0$ und $10$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{- (x + 5) \frac{9 x}{x + 5}}{10 - 1}$

Schritt 4.2.8.6

Subtrahiere $1$ von $10$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - \frac{- (x + 5) \frac{9 x}{x + 5}}{9}$

Schritt 4.2.9

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.9.1

Faktorisiere $\frac{9 x}{x + 5}$ aus $\frac{- (x + 5) \frac{9 x}{x + 5}}{9}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - (\frac{9 x}{x + 5} \cdot \frac{- (x + 5)}{9})$

Schritt 4.2.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.2.9.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - (\frac{9 (x)}{x + 5} \cdot \frac{- (x + 5)}{9})$

Schritt 4.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - (\frac{9 x}{x + 5} \cdot \frac{- (x + 5)}{9})$

Schritt 4.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - (\frac{x}{x + 5} \cdot (- (x + 5)))$

Schritt 4.2.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 4.2.9.3.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $- (x + 5)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - (\frac{x}{x + 5} \cdot ((x + 5) \cdot - 1))$

Schritt 4.2.9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - (\frac{x}{x + 5} \cdot ((x + 5) \cdot - 1))$

Schritt 4.2.9.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - (x \cdot - 1)$

Schritt 4.2.9.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.9.4.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = - (- 1 \cdot x)$

Schritt 4.2.9.4.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f^{- 1} (\frac{- 2 x - 1}{x + 5}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \frac{5 x + 1}{2 + x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{- 2 (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) - 1}{(- \frac{5 x + 1}{2 + x}) + 5}$

Schritt 4.3.3

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $2 + x$ .

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{- 2 (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) - 1}{- \frac{5 x + 1}{2 + x} + 5}$ mit $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{2 + x}{2 + x} \cdot \frac{- 2 (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) - 1}{- \frac{5 x + 1}{2 + x} + 5}$

Schritt 4.3.3.2

Kombinieren.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- 2 (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) - 1)}{(2 + x) (- \frac{5 x + 1}{2 + x} + 5)}$

Schritt 4.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- 2 (- \frac{5 x + 1}{2 + x})) + (2 + x) \cdot - 1}{(2 + x) (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 + x$ .

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Schritt 4.3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 x + 1}{2 + x}$ in den Zähler.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- 2 (- \frac{5 x + 1}{2 + x})) + (2 + x) \cdot - 1}{(2 + x) (\frac{- (5 x + 1)}{2 + x}) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- 2 (- \frac{5 x + 1}{2 + x})) + (2 + x) \cdot - 1}{(2 + x) (\frac{- (5 x + 1)}{2 + x}) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- 2 (- \frac{5 x + 1}{2 + x})) + (2 + x) \cdot - 1}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.6.1

Faktorisiere $2 + x$ aus $(2 + x) (- 2 (- \frac{5 x + 1}{2 + x})) + (2 + x) \cdot - 1$ heraus.

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Schritt 4.3.6.1.1

Faktorisiere $2 + x$ aus $(2 + x) \cdot - 1$ heraus.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- 2 (- \frac{5 x + 1}{2 + x})) + (2 + x) (- 1)}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.1.2

Faktorisiere $2 + x$ aus $(2 + x) (- 2 (- \frac{5 x + 1}{2 + x})) + (2 + x) (- 1)$ heraus.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- 2 (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) - 1)}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) - 1$ heraus.

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Schritt 4.3.6.2.1

Stelle $2$ und $x$ um.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- 2 \cdot (- 1 \frac{5 x + 1}{x + 2}) - 1)}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \cdot - 1 \frac{5 x + 1}{x + 2}$ heraus.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- (- 2 \frac{5 x + 1}{x + 2}) - 1)}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.2.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- (- 2 \frac{5 x + 1}{x + 2}) - 1 \cdot 1)}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 2 \frac{5 x + 1}{x + 2}) - 1 (1)$ heraus.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- (- 2 \frac{5 x + 1}{x + 2} + 1))}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5 x + 1}{x + 2}$ .

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- (\frac{- 2 (5 x + 1)}{x + 2} + 1))}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- (- \frac{2 (5 x + 1)}{x + 2} + 1))}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- (- \frac{2 (5 x + 1)}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 2}))}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- \frac{- 2 (5 x + 1) + x + 2}{x + 2})}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.7

Stelle die Terme um.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- \frac{x + 2 - 2 (5 x + 1)}{x + 2})}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.8

Schreibe $\frac{x + 2 - 2 (5 x + 1)}{x + 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.6.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- \frac{x + 2 - 2 (5 x) - 2 \cdot 1}{x + 2})}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.8.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- \frac{x + 2 - 10 x - 2 \cdot 1}{x + 2})}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.8.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- \frac{x + 2 - 10 x - 2}{x + 2})}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.8.4

Subtrahiere $10 x$ von $x$ .

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- \frac{- 9 x + 2 - 2}{x + 2})}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.8.5

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- \frac{- 9 x + 0}{x + 2})}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.8.6

Addiere $- 9 x$ und $0$ .

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (- \frac{- 9 x}{x + 2})}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) \cdot (- 1 \frac{- 9 x}{x + 2})}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.9

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{- ((2 + x) (\frac{- 9 x}{x + 2}))}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{- (2 + x) \cdot (- 1 \frac{9 x}{x + 2})}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.11

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.3.6.11.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{- ((2 + x) \cdot (- 1 \frac{9 x}{x + 2}))}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{1 ((2 + x) (\frac{9 x}{x + 2}))}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.6.11.3

Mutltipliziere $2 + x$ mit $1$ .

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (\frac{9 x}{x + 2})}{- (5 x + 1) + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (\frac{9 x}{x + 2})}{- (5 x) - 1 \cdot 1 + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.7.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (\frac{9 x}{x + 2})}{- 5 x - 1 \cdot 1 + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (\frac{9 x}{x + 2})}{- 5 x - 1 + (2 + x) \cdot 5}$

Schritt 4.3.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (\frac{9 x}{x + 2})}{- 5 x - 1 + 2 \cdot 5 + x \cdot 5}$

Schritt 4.3.7.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (\frac{9 x}{x + 2})}{- 5 x - 1 + 10 + x \cdot 5}$

Schritt 4.3.7.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (\frac{9 x}{x + 2})}{- 5 x - 1 + 10 + 5 \cdot x}$

Schritt 4.3.7.7

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (\frac{9 x}{x + 2})}{0 - 1 + 10}$

Schritt 4.3.7.8

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (\frac{9 x}{x + 2})}{- 1 + 10}$

Schritt 4.3.7.9

Addiere $- 1$ und $10$ .

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{(2 + x) (\frac{9 x}{x + 2})}{9}$

Schritt 4.3.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.3.8.1

Faktorisiere $\frac{9 x}{x + 2}$ aus $\frac{(2 + x) \frac{9 x}{x + 2}}{9}$ heraus.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{9 x}{x + 2} \cdot \frac{2 + x}{9}$

Schritt 4.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.3.8.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x$ heraus.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{9 (x)}{x + 2} \cdot \frac{2 + x}{9}$

Schritt 4.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{9 x}{x + 2} \cdot \frac{2 + x}{9}$

Schritt 4.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{x}{x + 2} \cdot (2 + x)$

Schritt 4.3.8.3

Mutltipliziere $\frac{x}{x + 2}$ mit $2 + x$ .

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{x (2 + x)}{x + 2}$

Schritt 4.3.8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 + x$ und $x + 2$ .

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Schritt 4.3.8.4.1

Stelle die Terme um.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{x (x + 2)}{x + 2}$

Schritt 4.3.8.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = \frac{x (x + 2)}{x + 2}$

Schritt 4.3.8.4.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (- \frac{5 x + 1}{2 + x}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x + 1}{2 + x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{- 2 x - 1}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x + 1}{2 + x}$