Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{x^{4}} - 7$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{y^{4}} - 7$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{y^{4}} - 7 = x$ um.

$\frac{1}{y^{4}} - 7 = x$

Schritt 3.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{y^{4}} = x + 7$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y^{4}, 1, 1$

Schritt 3.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y^{4}$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y^{4}} = x + 7$ mit $y^{4}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y^{4}} = x + 7$ mit $y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = x y^{4} + 7 y^{4}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{4}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = x y^{4} + 7 y^{4}$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = x y^{4} + 7 y^{4}$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $x y^{4} + 7 y^{4} = 1$ um.

$x y^{4} + 7 y^{4} = 1$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $y^{4}$ aus $x y^{4} + 7 y^{4}$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $y^{4}$ aus $x y^{4}$ heraus.

$y^{4} x + 7 y^{4} = 1$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $y^{4}$ aus $7 y^{4}$ heraus.

$y^{4} x + y^{4} \cdot 7 = 1$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $y^{4}$ aus $y^{4} x + y^{4} \cdot 7$ heraus.

$y^{4} (x + 7) = 1$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $y^{4} (x + 7) = 1$ durch $x + 7$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{4} (x + 7) = 1$ durch $x + 7$ .

$\frac{y^{4} (x + 7)}{x + 7} = \frac{1}{x + 7}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{4} (x + 7)}{x + 7} = \frac{1}{x + 7}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $y^{4}$ durch $1$ .

$y^{4} = \frac{1}{x + 7}$

Schritt 3.5.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$

Schritt 3.5.5

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$ .

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Schritt 3.5.5.1

Schreibe $\sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$ als $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{x + 7}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{x + 7}}$

Schritt 3.5.5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$

Schritt 3.5.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

Schritt 3.5.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{\sqrt[4]{x + 7} {\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

Schritt 3.5.5.4.2

Potenziere $\sqrt[4]{x + 7}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{1} {\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

Schritt 3.5.5.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{1 + 3}}$

Schritt 3.5.5.4.4

Addiere $1$ und $3$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{4}}$

Schritt 3.5.5.4.5

Schreibe ${\sqrt[4]{x + 7}}^{4}$ als $x + 7$ um.

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Schritt 3.5.5.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x + 7}$ als ${(x + 7)}^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{({(x + 7)}^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Schritt 3.5.5.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Schritt 3.5.5.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 3.5.5.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.5.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 3.5.5.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{1}}$

Schritt 3.5.5.4.5.5

Vereinfache.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{x + 7}$

Schritt 3.5.5.5

Schreibe ${\sqrt[4]{x + 7}}^{3}$ als $\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Schritt 3.5.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Schritt 3.5.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Schritt 3.5.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ und $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- 7, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 7)}^{3} \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{{(x + 7)}^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x + 7 \geq \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 5.3.2.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x + 7 \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 5.3.2.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x + 7 \geq 0$

Schritt 5.3.2.3

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 7$

Schritt 5.3.3

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 7 = 0$

Schritt 5.3.4

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 5.3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- 7, \infty)$

Schritt 5.4

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ .

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Schritt 5.4.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{4}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{4} = 0$

Schritt 5.4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Schritt 5.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5.5

Ermittle den Wertebereich der Inversen.

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Schritt 5.5.1

Finde den Wertebereich von $\frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ .

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Schritt 5.5.1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(1, \infty)$

Schritt 5.5.2

Finde den Wertebereich von $- \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ .

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Schritt 5.5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1)$

Schritt 5.5.3

Finde die Union (Vereinigung) von $(1, \infty), (- \infty, - 1)$ .

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Schritt 5.5.3.1

Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in jedem Intervall enthalten sind.

$(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5.6

Da die Wertebereich von $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ nicht gleich dem Definitionsbereich von $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ keine Umkehrung von $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ .#

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6