Algebra Beispiele

$y = \frac{4^{x} + 8}{4}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{4^{y} + 8}{4}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4^{y} + 8}{4} = x$ um.

$\frac{4^{y} + 8}{4} = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{4^{y} + 8}{4} = 4 x$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{4^{y} + 8}{4} = 4 x$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4^{y} + 8 = 4 x$

Schritt 2.4

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4^{y} = 4 x - 8$

Schritt 2.5

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4^{y}) = \ln (4 x - 8)$

Schritt 2.6

Zerlege $\ln (4^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (4) = \ln (4 x - 8)$

Schritt 2.7

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (4) = \ln (4 x - 8)$ durch $\ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (4) = \ln (4 x - 8)$ durch $\ln (4)$ .

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}$

Schritt 2.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 2.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}$

Schritt 2.7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{4^{x} + 8}{4}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{4^{x} + 8}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x} + 8}{4}) = \frac{\ln (4 (\frac{4^{x} + 8}{4}) - 8)}{\ln (4)}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4^{x} + 8}{4}) = \frac{\ln (4 (\frac{4^{x} + 8}{4}) - 8)}{\ln (4)}$

Schritt 4.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{4^{x} + 8}{4}) = \frac{\ln (4^{x} + 8 - 8)}{\ln (4)}$

Schritt 4.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4^{x} + 8 - 8$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x} + 8}{4}) = \frac{\ln (4^{x} + 0)}{\ln (4)}$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $4^{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x} + 8}{4}) = \frac{\ln (4^{x})}{\ln (4)}$

Schritt 4.2.4

Zerlege $\ln (4^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} (\frac{4^{x} + 8}{4}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4^{x} + 8}{4}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Schritt 4.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x} + 8}{4}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}) = \frac{4^{\frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}} + 8}{4}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.1

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}) = \frac{4^{\log_{4} (4 x - 8)} + 8}{4}$

Schritt 4.3.3.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}) = \frac{4 x - 8 + 8}{4}$

Schritt 4.3.3.3

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f (\frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Schritt 4.3.3.4

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f (\frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 4.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{4^{x} + 8}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (4 x - 8)}{\ln (4)}$