Algebra Beispiele

$f (x) = - 12 x^{3}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - 12 x^{3}$ als Gleichung.

$y = - 12 x^{3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - 12 y^{3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- 12 y^{3} = x$ um.

$- 12 y^{3} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 12 y^{3} = x$ durch $- 12$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 12 y^{3} = x$ durch $- 12$ .

$\frac{- 12 y^{3}}{- 12} = \frac{x}{- 12}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 12 y^{3}}{- 12} = \frac{x}{- 12}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{- 12}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = - \frac{x}{12}$

Schritt 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{12}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{x}{12}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Schreibe $- \frac{x}{12}$ als ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{12}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{x}{12}}$

Schritt 3.4.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{12}}$

Schritt 3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{x}{12}}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{x}{12}}$

Schritt 3.4.4

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{x}{12}}$ als $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}}$ um.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}}$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}})$

Schritt 3.4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{\sqrt[3]{12} {\sqrt[3]{12}}^{2}}$

Schritt 3.4.6.2

Potenziere $\sqrt[3]{12}$ mit $1$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{1} {\sqrt[3]{12}}^{2}}$

Schritt 3.4.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.6.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{3}}$

Schritt 3.4.6.5

Schreibe ${\sqrt[3]{12}}^{3}$ als $12$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.6.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{12}$ als $12^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{{(12^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.4.6.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.6.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.6.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.6.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.6.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12^{1}}$

Schritt 3.4.6.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12}$

Schritt 3.4.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.7.1

Schreibe ${\sqrt[3]{12}}^{2}$ als $\sqrt[3]{12^{2}}$ um.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{12^{2}}}{12}$

Schritt 3.4.7.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{144}}{12}$

Schritt 3.4.7.3

Schreibe $144$ als $2^{3} \cdot 18$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.7.3.1

Faktorisiere $8$ aus $144$ heraus.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{8 (18)}}{12}$

Schritt 3.4.7.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 18}}{12}$

Schritt 3.4.7.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \cdot 2 \sqrt[3]{18}}{12}$

Schritt 3.4.7.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = - \frac{2 \sqrt[3]{x \cdot 18}}{12}$

Schritt 3.4.8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.8.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[3]{x \cdot 18}$ heraus.

$y = - \frac{2 (\sqrt[3]{x \cdot 18})}{12}$

Schritt 3.4.8.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.8.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$y = - \frac{2 \sqrt[3]{x \cdot 18}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.4.8.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{2 \sqrt[3]{x \cdot 18}}{2 \cdot 6}$

Schritt 3.4.8.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x \cdot 18}}{6}$

Schritt 3.4.8.2

Stelle die Faktoren in $- \frac{\sqrt[3]{x \cdot 18}}{6}$ um.

$y = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 12 x^{3}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 12 x^{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{18 (- 12 x^{3})}}{6}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $18$ .

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{- 216 x^{3}}}{6}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $- 216 x^{3}$ als ${(- 6 x)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{{(- 6 x)}^{3}}}{6}$

Schritt 5.2.3.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{- 6 x}{6}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x$ heraus.

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{6 (- x)}{6}$

Schritt 5.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{6 (- x)}{6 (1)}$

Schritt 5.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{6 (- x)}{6 \cdot 1}$

Schritt 5.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{- x}{1}$

Schritt 5.2.4.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 {(- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6})}^{3}$

Schritt 5.3.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{18 x}}{6})}^{3})$

Schritt 5.3.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt[3]{18 x}}^{3}}{6^{3}}))$

Schritt 5.3.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{\sqrt[3]{18 x}}^{3}}{6^{3}})$

Schritt 5.3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{18 x}}^{3}$ als $18 x$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{18 x}$ als ${(18 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{({(18 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}})$

Schritt 5.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{(18 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}})$

Schritt 5.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{(18 x)}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}})$

Schritt 5.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{(18 x)}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}})$

Schritt 5.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{18 x}{6^{3}})$

Schritt 5.3.5.5

Vereinfache.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{18 x}{6^{3}})$

Schritt 5.3.6

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{18 x}{216})$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{18 x}{216}$ in den Zähler.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 \frac{- 18 x}{216}$

Schritt 5.3.7.2

Faktorisiere $12$ aus $- 12$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = 12 (- 1) (\frac{- 18 x}{216})$

Schritt 5.3.7.3

Faktorisiere $12$ aus $216$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = 12 \cdot (- 1 \frac{- 18 x}{12 \cdot 18})$

Schritt 5.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = 12 \cdot (- 1 \frac{- 18 x}{12 \cdot 18})$

Schritt 5.3.7.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{- 18 x}{18}$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $18$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.8.1

Faktorisiere $18$ aus $- 18 x$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{18 (- x)}{18}$

Schritt 5.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.8.2.1

Faktorisiere $18$ aus $18$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{18 (- x)}{18 (1)}$

Schritt 5.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{18 (- x)}{18 \cdot 1}$

Schritt 5.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{- x}{1}$

Schritt 5.3.8.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 (- x)$

Schritt 5.3.9

Multipliziere $- 1 (- x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = 1 x$

Schritt 5.3.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 12 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$