Algebra Beispiele

$y = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = {(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als ${(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}} = x$ um.

${(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}} = x$

Schritt 2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \ln (x)$

Schritt 2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.3.1

Zerlege $\ln ({(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{2}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{5^{y}}{2}) = \ln (x)$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\ln (\frac{5^{y}}{2})$ als $\ln (5^{y}) - \ln (2)$ um.

$\frac{1}{2} (\ln (5^{y}) - \ln (2)) = \ln (x)$

Schritt 2.3.3

Zerlege $\ln (5^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{2} (y \ln (5) - \ln (2)) = \ln (x)$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $\frac{1}{2} (y \ln (5) - \ln (2))$ .

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Schritt 2.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (y \ln (5)) + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $\frac{1}{2} (y \ln (5))$ .

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Schritt 2.4.1.2.1

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y}{2} \ln (5) + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

Schritt 2.4.1.2.2

Kombiniere $\frac{y}{2}$ und $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

Schritt 2.4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$

Schritt 2.5

Multipliziere jeden Term in $\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$ mit $2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$ mit $2$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (5)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Schritt 2.5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y \ln (5) - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Schritt 2.5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (2)}{2}$ in den Zähler.

$y \ln (5) + \frac{- \ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Schritt 2.5.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \ln (5) + \frac{- \ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Schritt 2.5.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y \ln (5) - \ln (2) = \ln (x) \cdot 2$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (x)$ .

$y \ln (5) - \ln (2) = 2 \ln (x)$

Schritt 2.6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$y \ln (5) - \ln (2) - 2 \ln (x) = 0$

Schritt 2.7

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.7.1

Addiere $\ln (2)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y \ln (5) - 2 \ln (x) = \ln (2)$

Schritt 2.7.2

Addiere $2 \ln (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$

Schritt 2.8

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$ durch $\ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$ durch $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Schritt 2.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 2.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Schritt 2.8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5^{x}}{2}$ an.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{{(5^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.2.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{5^{x (\frac{1}{2})}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.4.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.4.3

Vereinfache $2 \ln (\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln ({(\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2})}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.4.4

Wende die Produktregel auf $\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ an.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{{(5^{\frac{x}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{\frac{x}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{\frac{x}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{\frac{x}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.4.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.4.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.4.6.1

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.4.6.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.4.6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.4.6.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2})}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.4.6.2

Berechne den Exponenten.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2})}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.5

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2 (\frac{5^{x}}{2}))}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2 (\frac{5^{x}}{2}))}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (5^{x})}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.7

Zerlege $\ln (5^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 4.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 4.2.8.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2) + \ln (x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.3.4.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2 x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.3.4.3

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\log_{5} (2 x^{2})}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.3.4.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{2 x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{2 x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.3.5.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.3.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.3.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 4.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 4.3.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$