Algebra Beispiele

$y = 9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 9 \log (- 4 y^{5} + 8) - 1$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $9 \log (- 4 y^{5} + 8) - 1 = x$ um.

$9 \log (- 4 y^{5} + 8) - 1 = x$

Schritt 2.2

Vereinfache $9 \log (- 4 y^{5} + 8)$ , indem du $9$ in den Logarithmus ziehst.

$\log ({(- 4 y^{5} + 8)}^{9}) - 1 = x$

Schritt 2.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\log ({(- 4 y^{5} + 8)}^{9}) = x + 1$

Schritt 2.4

Schreibe $\log ({(- 4 y^{5} + 8)}^{9}) = x + 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{x + 1} = {(- 4 y^{5} + 8)}^{9}$

Schritt 2.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als ${(- 4 y^{5} + 8)}^{9} = 10^{x + 1}$ um.

${(- 4 y^{5} + 8)}^{9} = 10^{x + 1}$

Schritt 2.5.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$- 4 y^{5} + 8 = \sqrt[9]{10^{x + 1}}$

Schritt 2.5.3

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y^{5} = \sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8$

Schritt 2.5.4

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y^{5} = \sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y^{5} = \sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 y^{5}}{- 4} = \frac{\sqrt[9]{10^{x + 1}}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 2.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y^{5}}{- 4} = \frac{\sqrt[9]{10^{x + 1}}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 2.5.4.2.1.2

Dividiere $y^{5}$ durch $1$ .

$y^{5} = \frac{\sqrt[9]{10^{x + 1}}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 2.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.4.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{5} = - \frac{\sqrt[9]{10^{x + 1}}}{4} + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 2.5.4.3.1.2

Dividiere $- 8$ durch $- 4$ .

$y^{5} = - \frac{\sqrt[9]{10^{x + 1}}}{4} + 2$

Schritt 2.5.4.3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y^{5} = - \frac{\sqrt[9]{10^{x + 1}}}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.5.4.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{4}$ .

$y^{5} = - \frac{\sqrt[9]{10^{x + 1}}}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.5.4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{5} = \frac{- \sqrt[9]{10^{x + 1}} + 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.5.4.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y^{5} = \frac{- \sqrt[9]{10^{x + 1}} + 8}{4}$

Schritt 2.5.4.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt[9]{10^{x + 1}}$ heraus.

$y^{5} = \frac{- (\sqrt[9]{10^{x + 1}}) + 8}{4}$

Schritt 2.5.4.3.7

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$y^{5} = \frac{- (\sqrt[9]{10^{x + 1}}) - 1 (- 8)}{4}$

Schritt 2.5.4.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sqrt[9]{10^{x + 1}}) - 1 (- 8)$ heraus.

$y^{5} = \frac{- (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8)}{4}$

Schritt 2.5.4.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.4.3.9.1

Schreibe $- (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8)$ als $- 1 (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8)$ um.

$y^{5} = \frac{- 1 (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8)}{4}$

Schritt 2.5.4.3.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{5} = - \frac{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8}{4}$

Schritt 2.5.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[5]{- \frac{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8}{4}}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache $\sqrt[5]{- \frac{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8}{4}}$ .

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Schritt 2.5.6.1

Schreibe $- \frac{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8}{4}$ als ${({(- 1)}^{5})}^{5} \frac{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8}{4}$ um.

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Schritt 2.5.6.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{5}$ um.

$y = \sqrt[5]{{(- 1)}^{5} \frac{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8}{4}}$

Schritt 2.5.6.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{5}$ um.

$y = \sqrt[5]{{({(- 1)}^{5})}^{5} \frac{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8}{4}}$

Schritt 2.5.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = {(- 1)}^{5} \sqrt[5]{\frac{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8}{4}}$

Schritt 2.5.6.3

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$y = - \sqrt[5]{\frac{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8}{4}}$

Schritt 2.5.6.4

Schreibe $\sqrt[5]{\frac{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8}{4}}$ als $\frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8}}{\sqrt[5]{4}}$ um.

$y = - \frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8}}{\sqrt[5]{4}}$

Schritt 2.5.6.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8}}{\sqrt[5]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{4}}$ .

$y = - (\frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8}}{\sqrt[5]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{4}})$

Schritt 2.5.6.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.6.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8}}{\sqrt[5]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{4}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8} {\sqrt[5]{4}}^{4}}{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{4}}^{4}}$

Schritt 2.5.6.6.2

Potenziere $\sqrt[5]{4}$ mit $1$ .

$y = - \frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8} {\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{1} {\sqrt[5]{4}}^{4}}$

Schritt 2.5.6.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - \frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8} {\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{1 + 4}}$

Schritt 2.5.6.6.4

Addiere $1$ und $4$ .

$y = - \frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8} {\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{5}}$

Schritt 2.5.6.6.5

Schreibe ${\sqrt[5]{4}}^{5}$ als $4$ um.

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Schritt 2.5.6.6.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{4}$ als $4^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$y = - \frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8} {\sqrt[5]{4}}^{4}}{{(4^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Schritt 2.5.6.6.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8} {\sqrt[5]{4}}^{4}}{4^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Schritt 2.5.6.6.5.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$y = - \frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8} {\sqrt[5]{4}}^{4}}{4^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 2.5.6.6.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.5.6.6.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8} {\sqrt[5]{4}}^{4}}{4^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 2.5.6.6.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8} {\sqrt[5]{4}}^{4}}{4^{1}}$

Schritt 2.5.6.6.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = - \frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8} {\sqrt[5]{4}}^{4}}{4}$

Schritt 2.5.6.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.7.1

Schreibe ${\sqrt[5]{4}}^{4}$ als $\sqrt[5]{4^{4}}$ um.

$y = - \frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8} \sqrt[5]{4^{4}}}{4}$

Schritt 2.5.6.7.2

Potenziere $4$ mit $4$ .

$y = - \frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8} \sqrt[5]{256}}{4}$

Schritt 2.5.6.7.3

Schreibe $256$ als $2^{5} \cdot 8$ um.

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Schritt 2.5.6.7.3.1

Faktorisiere $32$ aus $256$ heraus.

$y = - \frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8} \sqrt[5]{32 (8)}}{4}$

Schritt 2.5.6.7.3.2

Schreibe $32$ als $2^{5}$ um.

$y = - \frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8} \sqrt[5]{2^{5} \cdot 8}}{4}$

Schritt 2.5.6.7.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = - \frac{\sqrt[5]{\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8} \cdot 2 \sqrt[5]{8}}{4}$

Schritt 2.5.6.7.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = - \frac{2 \sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{4}$

Schritt 2.5.6.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.5.6.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}$ heraus.

$y = - \frac{2 (\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8})}{4}$

Schritt 2.5.6.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.6.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = - \frac{2 \sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.6.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{2 \sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.5.6.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) = - \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{(9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[9]{10^{9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1 + 1}}$ als $10^{\frac{9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1 + 1}{9}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) = - \frac{\sqrt[5]{(10^{\frac{9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1 + 1}{9}} - 8) \cdot 8}}{2}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.2.1

Vereinfache $9 \log (- 4 x^{5} + 8)$ , indem du $9$ in den Logarithmus ziehst.

$f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) = - \frac{\sqrt[5]{(10^{\frac{\log ({(- 4 x^{5} + 8)}^{9}) - 1 + 1}{9}} - 8) \cdot 8}}{2}$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) = - \frac{\sqrt[5]{(10^{\frac{\log ({(- 4 x^{5} + 8)}^{9}) + 0}{9}} - 8) \cdot 8}}{2}$

Schritt 4.2.3.2.3

Addiere $\log ({(- 4 x^{5} + 8)}^{9})$ und $0$ .

$f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) = - \frac{\sqrt[5]{(10^{\frac{\log ({(- 4 x^{5} + 8)}^{9})}{9}} - 8) \cdot 8}}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Zerlege $\log ({(- 4 x^{5} + 8)}^{9})$ durch Herausziehen von $9$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) = - \frac{\sqrt[5]{(10^{\frac{9 \log (- 4 x^{5} + 8)}{9}} - 8) \cdot 8}}{2}$

Schritt 4.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) = - \frac{\sqrt[5]{(10^{\frac{9 \log (- 4 x^{5} + 8)}{9}} - 8) \cdot 8}}{2}$

Schritt 4.2.3.4.2

Dividiere $\log (- 4 x^{5} + 8)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) = - \frac{\sqrt[5]{(10^{\log (- 4 x^{5} + 8)} - 8) \cdot 8}}{2}$

Schritt 4.2.3.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) = - \frac{\sqrt[5]{(- 4 x^{5} + 8 - 8) \cdot 8}}{2}$

Schritt 4.2.3.6

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) = - \frac{\sqrt[5]{(- 4 x^{5} + 0) \cdot 8}}{2}$

Schritt 4.2.3.7

Addiere $- 4 x^{5}$ und $0$ .

$f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) = - \frac{\sqrt[5]{- 4 x^{5} \cdot 8}}{2}$

Schritt 4.2.3.8

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) = - \frac{\sqrt[5]{- 32 x^{5}}}{2}$

Schritt 4.2.3.9

Schreibe $- 32 x^{5}$ als ${(- 2 x)}^{5}$ um.

$f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) = - \frac{\sqrt[5]{{(- 2 x)}^{5}}}{2}$

Schritt 4.2.3.10

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) = - \frac{- 2 x}{2}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) = - \frac{2 (- x)}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) = - \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Schritt 4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) = - \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) = - \frac{- x}{1}$

Schritt 4.2.4.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 4 {(- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2})}^{5} + 8) - 1$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.3.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 4 ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2})}^{5}) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 4 ({(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}^{5}}{2^{5}})) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 4 (- \frac{{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}^{5}}{2^{5}}) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.1.3.1

Schreibe ${\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}^{5}$ als $(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8$ um.

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Schritt 4.3.3.1.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}$ als ${((\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8)}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 4 (- \frac{{({((\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}}) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 4 (- \frac{{((\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}}) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 4 (- \frac{{((\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.3.1.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 4 (- \frac{{((\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 4 (- \frac{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}{2^{5}}) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.3.1.5

Vereinfache.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 4 (- \frac{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}{2^{5}}) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 4 (- \frac{\sqrt[9]{10^{x + 1}} \cdot 8 - 8 \cdot 8}{2^{5}}) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.3.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $\sqrt[9]{10^{x + 1}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 4 (- \frac{8 \cdot \sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8 \cdot 8}{2^{5}}) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.3.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $8$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 4 (- \frac{8 \cdot \sqrt[9]{10^{x + 1}} - 64}{2^{5}}) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.3.5

Faktorisiere $8$ aus $8 \sqrt[9]{10^{x + 1}} - 64$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1.3.5.1

Faktorisiere $8$ aus $8 \sqrt[9]{10^{x + 1}}$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 4 (- \frac{8 (\sqrt[9]{10^{x + 1}}) - 64}{2^{5}}) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.3.5.2

Faktorisiere $8$ aus $- 64$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 4 (- \frac{8 \sqrt[9]{10^{x + 1}} + 8 \cdot - 8}{2^{5}}) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.3.5.3

Faktorisiere $8$ aus $8 \sqrt[9]{10^{x + 1}} + 8 \cdot - 8$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 4 (- \frac{8 (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8)}{2^{5}}) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 4 (- \frac{8 (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8)}{32}) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8 (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8)}{32}$ in den Zähler.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 4 \frac{- 8 (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8)}{32} + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (4 (- 1) (\frac{- 8 (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8)}{32}) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.5.3

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (4 \cdot (- 1 \frac{- 8 (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8)}{4 \cdot 8}) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (4 \cdot (- 1 \frac{- 8 (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8)}{4 \cdot 8}) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 1 \frac{- 8 (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8)}{8} + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $8$ .

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Schritt 4.3.3.1.6.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8)$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 1 \frac{8 (- (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8))}{8} + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.1.6.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 1 \frac{8 (- (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8))}{8 (1)} + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 1 \frac{8 (- (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8))}{8 \cdot 1} + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 1 \frac{- (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8)}{1} + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.6.2.4

Dividiere $- (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8)$ durch $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 1 (- (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8)) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 1 (- \sqrt[9]{10^{x + 1}} + 8) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 1 (- \sqrt[9]{10^{x + 1}} + 8) + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (- 1 (- \sqrt[9]{10^{x + 1}}) - 1 \cdot 8 + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.10

Multipliziere $- 1 (- \sqrt[9]{10^{x + 1}})$ .

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Schritt 4.3.3.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (1 \sqrt[9]{10^{x + 1}} - 1 \cdot 8 + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.10.2

Mutltipliziere $\sqrt[9]{10^{x + 1}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 1 \cdot 8 + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8 + 8) - 1$

Schritt 4.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8 + 8$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (\sqrt[9]{10^{x + 1}} + 0) - 1$

Schritt 4.3.3.2.2

Addiere $\sqrt[9]{10^{x + 1}}$ und $0$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = 9 \log (\sqrt[9]{10^{x + 1}}) - 1$

Schritt 4.3.3.3

Vereinfache $9 \log (\sqrt[9]{10^{x + 1}})$ , indem du $9$ in den Logarithmus ziehst.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = \log ({\sqrt[9]{10^{x + 1}}}^{9}) - 1$

Schritt 4.3.3.4

Schreibe ${\sqrt[9]{10^{x + 1}}}^{9}$ als $10^{x + 1}$ um.

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Schritt 4.3.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[9]{10^{x + 1}}$ als $10^{\frac{x + 1}{9}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = \log ({(10^{\frac{x + 1}{9}})}^{9}) - 1$

Schritt 4.3.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = \log (10^{\frac{x + 1}{9} \cdot 9}) - 1$

Schritt 4.3.3.4.3

Kombiniere $\frac{x + 1}{9}$ und $9$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = \log (10^{\frac{(x + 1) \cdot 9}{9}}) - 1$

Schritt 4.3.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.3.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = \log (10^{\frac{(x + 1) \cdot 9}{9}}) - 1$

Schritt 4.3.3.4.4.2

Dividiere $x + 1$ durch $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = \log (10^{x + 1}) - 1$

Schritt 4.3.3.5

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x + 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = (x + 1) \log (10) - 1$

Schritt 4.3.3.6

Die logarithmische Basis $10$ von $10$ ist $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

Schritt 4.3.3.7

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = x + 1 - 1$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 9 \log (- 4 x^{5} + 8) - 1$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[5]{(\sqrt[9]{10^{x + 1}} - 8) \cdot 8}}{2}$