Algebra Beispiele

$y = - 3 \log_{6} (x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - 3 \log_{6} (y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 \log_{6} (y) = x$ um.

$- 3 \log_{6} (y) = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \log_{6} (y) = x$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \log_{6} (y) = x$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 \log_{6} (y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \log_{6} (y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\log_{6} (y)$ durch $1$ .

$\log_{6} (y) = \frac{x}{- 3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\log_{6} (y) = - \frac{x}{3}$

Schritt 2.3

Schreibe $\log_{6} (y) = - \frac{x}{3}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$6^{- \frac{x}{3}} = y$

Schritt 2.4

Schreibe die Gleichung als $y = 6^{- \frac{x}{3}}$ um.

$y = 6^{- \frac{x}{3}}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 6^{- \frac{x}{3}}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 6^{- \frac{x}{3}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 3 \log_{6} (x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = 6^{- \frac{- 3 \log_{6} (x)}{3}}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \log_{6} (x)$ heraus.

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = 6^{- \frac{3 (- \log_{6} (x))}{3}}$

Schritt 4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = 6^{- \frac{3 (- \log_{6} (x))}{3 (1)}}$

Schritt 4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = 6^{- \frac{3 (- \log_{6} (x))}{3 \cdot 1}}$

Schritt 4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = 6^{- \frac{- \log_{6} (x)}{1}}$

Schritt 4.2.3.2.4

Dividiere $- \log_{6} (x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = 6^{\log_{6} (x)}$

Schritt 4.2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (6^{- \frac{x}{3}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = - 3 \log_{6} (6^{- \frac{x}{3}})$

Schritt 4.3.3

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- \frac{x}{3}$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = - 3 (- \frac{x}{3} \cdot \log_{6} (6))$

Schritt 4.3.4

Die logarithmische Basis $6$ von $6$ ist $1$ .

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = - 3 (- \frac{x}{3} \cdot 1)$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = - 3 (- \frac{x}{3})$

Schritt 4.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{3}$ in den Zähler.

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = - 3 \frac{- x}{3}$

Schritt 4.3.6.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = 3 (- 1) (\frac{- x}{3})$

Schritt 4.3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = 3 \cdot (- 1 \frac{- x}{3})$

Schritt 4.3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = - 1 (- x)$

Schritt 4.3.7

Multipliziere.

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Schritt 4.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = 1 x$

Schritt 4.3.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 6^{- \frac{x}{3}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 3 \log_{6} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = 6^{- \frac{x}{3}}$