Algebra Beispiele

$x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} + 12 x - 12 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 4 x^{3} + 12 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x^{3} + 12 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$- 4 x \cdot x^{2} + 12 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $- 4 x$ aus $12 x$ heraus.

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 3 + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 3)$ heraus.

$- 4 x (x^{2} - 3) + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 4 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 12 = 0$

Schritt 1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 3) + u^{2} + u - 12 = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $u^{2} + u - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $1$ ist.

$- 3, 4$

Schritt 1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 4 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 4) = 0$

Schritt 1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Schritt 1.7

Faktorisiere $x^{2} - 3$ aus $- 4 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Faktorisiere $x^{2} - 3$ aus $- 4 x (x^{2} - 3)$ heraus.

$(x^{2} - 3) (- 4 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Schritt 1.7.2

Faktorisiere $x^{2} - 3$ aus $(x^{2} - 3) (- 4 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ heraus.

$(x^{2} - 3) (- 4 x + x^{2} + 4) = 0$

Schritt 1.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} - 3) (- 4 u + u^{2} + 4) = 0$

Schritt 1.9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.9.1

Ordne Terme um.

$(x^{2} - 3) (u^{2} - 4 u + 4) = 0$

Schritt 1.9.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x^{2} - 3) (u^{2} - 4 u + 2^{2}) = 0$

Schritt 1.9.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Schritt 1.9.4

Schreibe das Polynom neu.

$(x^{2} - 3) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 1.9.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 2$ .

$(x^{2} - 3) {(u - 2)}^{2} = 0$

Schritt 1.10

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} - 3) {(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 3

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3$

Schritt 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 3.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 3.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 4

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse ${(x - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 3) {(x - 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 2$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 2$

Dezimalform:

$x = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, 2$

Schritt 7