Algebra Beispiele

$2 x y - y^{2} = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (2 x y - y^{2}) = \frac{d}{d y} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y - y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 (x + y x') - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x + y x') - (2 y)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 (x + y x') - 2 y$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 2 (y x') - 2 y$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$2 y x' + 2 x - 2 y$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y x' + 2 x - 2 y = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y x' - 2 y = - 2 x$

Schritt 5.1.2

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y x' = - 2 x + 2 y$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y x' = - 2 x + 2 y$ durch $2 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y x' = - 2 x + 2 y$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y x'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y} + \frac{2 y}{2 y}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y x'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y} + \frac{2 y}{2 y}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y} + \frac{2 y}{2 y}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y} + \frac{2 y}{2 y}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- 2 x}{2 y} + \frac{2 y}{2 y}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$x' = \frac{2 (- x)}{2 y} + \frac{2 y}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$x' = \frac{2 (- x)}{2 (y)} + \frac{2 y}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{2 (- x)}{2 y} + \frac{2 y}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{- x}{y} + \frac{2 y}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{2 y}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{2 y}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{y}{y}$

Schritt 5.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{y}{y}$

Schritt 5.2.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = - \frac{x}{y} + 1$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} + 1$