Algebra Beispiele

$9 x^{4} - 16 = 0$

Schritt 1

Schreibe $9 x^{4}$ als ${(3 x^{2})}^{2}$ um.

${(3 x^{2})}^{2} - 16 = 0$

Schritt 2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

${(3 x^{2})}^{2} - 4^{2} = 0$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 x^{2}$ und $b = 4$ .

$(3 x^{2} + 4) (3 x^{2} - 4) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x^{2} + 4 = 0$

$3 x^{2} - 4 = 0$

Schritt 5

Setze $3 x^{2} + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $3 x^{2} + 4$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 5.2

Löse $3 x^{2} + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = - 4$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Schreibe $- \frac{4}{3}$ als $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ um.

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Schritt 5.2.4.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

Schritt 5.2.4.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

Schritt 5.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

Schritt 5.2.4.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

Schritt 5.2.4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ als $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.6

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 5.2.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 5.2.4.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 5.2.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.2.4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.2.4.7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.2.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.2.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.2.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.2.4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.2.4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 5.2.4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.4.8

Kombiniere $i$ und $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

Schritt 5.2.4.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 6

Setze $3 x^{2} - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $3 x^{2} - 4$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 4 = 0$

Schritt 6.2

Löse $3 x^{2} - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 4$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Schritt 6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 6.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ als $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Schritt 6.2.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.4.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 6.2.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 6.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 6.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 6.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 6.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 6.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 6.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 6.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 6.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x^{2} + 4) (3 x^{2} - 4) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$