Algebra Beispiele

$\log_{2} (2 x^{3} - 8) - 2 \log_{2} (x) = \log_{2} (x)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{2} (2 x^{3} - 8) - 2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x) = 0$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} - 8}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} - 8$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3}) - 8}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 4}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} + 2 \cdot - 4$ heraus.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}) - 2 \log_{2} (x)$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache $- 2 \log_{2} (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}) - \log_{2} (x^{2}) = 0$

Schritt 4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}}{x^{2}}) = 0$

Schritt 4.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}) = 0$

Schritt 4.1.4

Kombinieren.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x \cdot x^{2}}) = 0$

Schritt 4.1.5

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.1.5.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x^{1} x^{2}}) = 0$

Schritt 4.1.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x^{1 + 2}}) = 0$

Schritt 4.1.5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x^{3}}) = 0$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $2 (x^{3} - 4)$ mit $1$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x^{3}}) = 0$

Schritt 5

Schreibe $\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x^{3}}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$2^{0} = \frac{2 (x^{3} - 4)}{x^{3}}$

Schritt 6

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$2 (x^{3} - 4) = 2^{0} (x^{3})$

Schritt 7

Vereinfache $2^{0} (x^{3})$ .

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Schritt 7.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$2 (x^{3} - 4) = 1 x^{3}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$2 (x^{3} - 4) = x^{3}$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 (x^{3} - 4) - x^{3} = 0$

Schritt 8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{3} + 2 \cdot - 4 - x^{3} = 0$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$2 x^{3} - 8 - x^{3} = 0$

Schritt 8.3

Subtrahiere $x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$x^{3} - 8 = 0$

Schritt 9

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Schritt 9.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Schritt 9.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Schritt 10

Vereinfache $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

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Schritt 10.1

Multipliziere $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 10.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.2.1.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 10.2.1.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 10.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 10.2.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{3} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 10.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 10.2.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.2.1.3.1

Bewege $x$ .

$x^{3} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 10.2.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 10.2.1.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 10.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 10.2.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Schritt 10.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8$ .

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Schritt 10.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$x^{3} + 4 x + 0 - 4 x - 8 = 0$

Schritt 10.2.2.2

Addiere $x^{3} + 4 x$ und $0$ .

$x^{3} + 4 x - 4 x - 8 = 0$

Schritt 10.2.2.3

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$x^{3} + 0 - 8 = 0$

Schritt 10.2.2.4

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$x^{3} - 8 = 0$

Schritt 11

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 8$

Schritt 12

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 8 = 0$

Schritt 13

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Schritt 13.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 13.3

Vereinfache.

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Schritt 13.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Schritt 13.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Schritt 14

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 15

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 15.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 16

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 16.1

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 16.2

Löse $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 16.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 16.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 16.2.3

Vereinfache.

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Schritt 16.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 16.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 16.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 16.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 16.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 16.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 16.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 16.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 16.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 16.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 16.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 16.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 16.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 16.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 16.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 16.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 17

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$