Algebra Beispiele

$p (x) = (x^{2} + 6 x + 9) (x + 3)$

Schritt 1

Vereinfache und ordne das Polynom in absteigender Reihenfolge neu an, um die Regel von Descartes anzuwenden.

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Schritt 1.1

Multipliziere $(x^{2} + 6 x + 9) (x + 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3$

Schritt 1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.2.1.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3$

Schritt 1.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3$

Schritt 1.2.1.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{3} + x^{2} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3$

Schritt 1.2.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 \cdot x^{2} + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3$

Schritt 1.2.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.3.1

Bewege $x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3$

Schritt 1.2.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + 6 x^{2} + 6 x \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3$

Schritt 1.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + 6 x^{2} + 18 x + 9 x + 9 \cdot 3$

Schritt 1.2.1.5

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + 6 x^{2} + 18 x + 9 x + 27$

Schritt 1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.2.2.1

Addiere $3 x^{2}$ und $6 x^{2}$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 18 x + 9 x + 27$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $18 x$ und $9 x$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Schritt 2

Um die Anzahl möglicher positiver Wurzeln zu bestimmen, betrachte die Vorzeichen der Koeffizienten und zähle, wie oft die Vorzeichen der Koeffizienten von positiv nach negativ oder von negativ nach positiv wechseln.

$f (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Schritt 3

Da vom Term höchster Ordnung zum niedrigsten Term $0$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens $0$ positive Nullstellen (Vorzeichenregel von Descartes).

Positive Wurzeln: $0$

Schritt 4

Um die mögliche Anzahl negativer Wurzeln zu ermitteln, ersetze $x$ durch $- x$ und wiederhole den Vorzeichenvergleich.

$f (- x) = {(- x)}^{3} + 9 {(- x)}^{2} + 27 (- x) + 27$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} + 9 {(- x)}^{2} + 27 (- x) + 27$

Schritt 5.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x) = - x^{3} + 9 {(- x)}^{2} + 27 (- x) + 27$

Schritt 5.3

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = - x^{3} + 9 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 27 (- x) + 27$

Schritt 5.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = - x^{3} + 9 (1 x^{2}) + 27 (- x) + 27$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (- x) = - x^{3} + 9 x^{2} + 27 (- x) + 27$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$f (- x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 27 x + 27$

Schritt 6

Da vom Term höchster Ordnung zum niedrigsten Term $3$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens $3$ negative Wurzeln (Vorzeichenregel von Descartes). Die anderen möglichen Anzahlen negativer Wurzeln werden bestimmt, indem Paare von Wurzeln voneinander subtrahiert werden (z. B. $3 - 2$ ).

Negative Wurzeln: $3$ oder $1$

Schritt 7

Die mögliche Anzahl positiver Wurzeln ist $0$ und die mögliche Anzahl negativer Wurzeln ist $3$ oder $1$ .

Positive Wurzeln: $0$

Negative Wurzeln: $3$ oder $1$