Algebra Beispiele

$y = \frac{e^{3 x}}{\ln (5 x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{3 x}$ und $g (x) = \ln (5 x)$ .

$\frac{\ln (5 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}] - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x$ .

$\frac{\ln (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\ln (5 x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$\frac{\ln (5 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (5 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\ln (5 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1)) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\ln (5 x) (e^{3 x} \cdot 3) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 \cdot e^{3 x}) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - e^{3 x} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - e^{3 x} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - e^{3 x} (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{5 x}$ und $e^{3 x}$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 5.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 5.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - 5 \frac{e^{3 x}}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{e^{3 x}}{5 x}$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) + \frac{- 5 e^{3 x}}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 e^{3 x}$ heraus.

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) + \frac{5 (- e^{3 x})}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) + \frac{5 (- e^{3 x})}{5 (x)} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) + \frac{5 (- e^{3 x})}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) + \frac{- e^{3 x}}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 5.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{x} \cdot 1}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 \ln (5 x) e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 6.1.1.2

Vereinfache $3 \ln (5 x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln ({(5 x)}^{3}) e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 6.1.1.3

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$\frac{\ln (5^{3} x^{3}) e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 6.1.1.4

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{\ln (125 x^{3}) e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 6.1.2

Stelle die Faktoren in $\ln (125 x^{3}) e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{x}$ um.

$\frac{e^{3 x} \ln (125 x^{3}) - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $e^{3 x}$ aus $e^{3 x} \ln (125 x^{3}) - \frac{e^{3 x}}{x}$ heraus.

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Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $e^{3 x}$ aus $e^{3 x} \ln (125 x^{3})$ heraus.

$\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3})) - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 6.2.1.2

Faktorisiere $e^{3 x}$ aus $- \frac{e^{3 x}}{x}$ heraus.

$\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3})) + e^{3 x} (- \frac{1}{x})}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 6.2.1.3

Faktorisiere $e^{3 x}$ aus $e^{3 x} (\ln (125 x^{3})) + e^{3 x} (- \frac{1}{x})$ heraus.

$\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3}) - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 6.2.2

Um $\ln (125 x^{3})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{3 x} (\frac{\ln (125 x^{3}) x}{x} - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 6.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{3 x} \frac{\ln (125 x^{3}) x - 1}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 6.3

Kombiniere $e^{3 x}$ und $\frac{\ln (125 x^{3}) x - 1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3}) x - 1)}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 6.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3}) x - 1)}{x} \cdot \frac{1}{\ln^{2} (5 x)}$

Schritt 6.5

Kombinieren.

$\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3}) x - 1) \cdot 1}{x \ln^{2} (5 x)}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $e^{3 x}$ mit $1$ .

$\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3}) x - 1)}{x \ln^{2} (5 x)}$

Schritt 6.7

Stelle die Faktoren in $\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3}) x - 1)}{x \ln^{2} (5 x)}$ um.

$\frac{e^{3 x} (x \ln (125 x^{3}) - 1)}{x \ln^{2} (5 x)}$