Algebra Beispiele

$\frac{42^{x}}{6^{x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 42^{x}$ und $g (x) = 6^{x}$ .

$\frac{6^{x} \frac{d}{d x} [42^{x}] - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{{(6^{x})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(6^{x})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6^{x} \frac{d}{d x} [42^{x}] - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{x \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{6^{x} \frac{d}{d x} [42^{x}] - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{2 x}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $42$ .

$\frac{6^{x} (42^{x} \ln (42)) - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{2 x}}$

Schritt 4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe $42^{x} \cdot 6^{x}$ als ${(42 \cdot 6)}^{x}$ um.

$\frac{{(42 \cdot 6)}^{x} \ln (42) - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{2 x}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $42$ mit $6$ .

$\frac{252^{x} \ln (42) - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{2 x}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $6$ .

$\frac{252^{x} \ln (42) - 42^{x} (6^{x} \ln (6))}{6^{2 x}}$

Schritt 6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe $6^{x} \cdot 42^{x}$ als ${(6 \cdot 42)}^{x}$ um.

$\frac{252^{x} \ln (42) - {(6 \cdot 42)}^{x} \ln (6)}{6^{2 x}}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $6$ mit $42$ .

$\frac{252^{x} \ln (42) - 252^{x} \ln (6)}{6^{2 x}}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Faktorisiere $252^{x}$ aus $252^{x} \ln (42) - 252^{x} \ln (6)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Faktorisiere $252^{x}$ aus $252^{x} \ln (42)$ heraus.

$\frac{252^{x} (\ln (42)) - 252^{x} \ln (6)}{6^{2 x}}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $252^{x}$ aus $- 252^{x} \ln (6)$ heraus.

$\frac{252^{x} (\ln (42)) + 252^{x} (- \ln (6))}{6^{2 x}}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $252^{x}$ aus $252^{x} (\ln (42)) + 252^{x} (- \ln (6))$ heraus.

$\frac{252^{x} (\ln (42) - \ln (6))}{6^{2 x}}$

Schritt 7.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{252^{x} \ln (\frac{42}{6})}{6^{2 x}}$

Schritt 7.3

Dividiere $42$ durch $6$ .

$\frac{252^{x} \ln (7)}{6^{2 x}}$