Algebra Beispiele

$g (T) = t^{3} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{3}$ und $g (t) = {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}$ .

$t^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}] + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{7}{2}}$ und $g (t) = t^{4} + 5$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{4} + 5$ .

$t^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{7}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{2}$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} u^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{4} + 5$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und ${(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$t^{3} (\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ und $t^{3}$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5] + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{4} + 5$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 10

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} (4 t^{3} + 0) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.1

Addiere $4 t^{3}$ und $0$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} (4 t^{3}) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 11.2

Kombiniere $4$ und $\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2}$ .

$\frac{4 (7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3})}{2} t^{3} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3})}{2} t^{3} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 11.4

Kombiniere $\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3})}{2}$ und $t^{3}$ .

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}) t^{3}}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 12

Multipliziere $t^{3}$ mit $t^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1

Bewege $t^{3}$ .

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} (t^{3} t^{3}))}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3 + 3})}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 12.3

Addiere $3$ und $3$ .

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6})}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 13

Faktorisiere $2$ aus $28 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6}$ heraus.

$\frac{2 (14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6})}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6})}{2 (1)} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6})}{2 \cdot 1} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6}}{1} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 14.4

Dividiere $14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6}$ durch $1$ .

$14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} (3 t^{2})$

Schritt 16

Stelle um.

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Schritt 16.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}$ .

$14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6} + 3 \cdot {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} t^{2}$

Schritt 16.2

Stelle die Terme um.

$14 t^{6} {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} + 3 t^{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}$