Algebra Beispiele

$z = \sqrt{9 x y}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d y} [\sqrt{9 x y}]$ als $\frac{d}{d y} [3 \sqrt{x y}]$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe $9 x y$ als $3^{2} (x y)$ um.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{d}{d y} [\sqrt{3^{2} x y}]$

Schritt 1.1.2

Füge Klammern hinzu.

$\frac{d}{d y} [\sqrt{3^{2} (x y)}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d y} [3 \sqrt{x y}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x y}$ als ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d y} [3 {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ und $g (y) = x y$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 8.3

Bringe ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ und $3$ .

$\frac{3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 9

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.1

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x \cdot 3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 10.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{3 \cdot x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 12

Mutltipliziere $\frac{3 x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{3 x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Wende die Produktregel auf $x y$ an.

$\frac{3 x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 13.2

Vereine die Terme

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Schritt 13.2.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.2.2.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13.2.2.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 13.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13.2.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13.2.2.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$