Algebra Beispiele

$- (y - 4) = x + 9$ , $x - \frac{8}{3} y = 0$

Schritt 1

Bringe jede Ebenengleichung in die Koordinatenform.

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Schritt 1.1

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y - - 4 = x + 9, x - \frac{8}{3} y = 0$

Schritt 1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- y + 4 = x + 9, x - \frac{8}{3} y = 0$

Schritt 1.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = x + 9 - 4, x - \frac{8}{3} y = 0$

Schritt 1.3

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{8}{3} y = 0$

Schritt 1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $y$ und $\frac{8}{3}$ .

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{y \cdot 8}{3} = 0$

Schritt 1.4.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $y$ .

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{8 y}{3} = 0$

Schritt 1.5

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$- y - x = 5, x - \frac{8 y}{3} = 0$

Schritt 2

Um den Schnittpunkt der Geraden durch einen Punkt $(p, q, r)$ senkrecht zur Ebene $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ und Ebene $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ zu finden:

1. Finde die Normalvektoren von Ebene $P_{1}$ und Ebene $P_{2}$ , wobei die Normalvektoren $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ und $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ sind. Prüfe, ob das Skalarprodukt 0 ist.

2. Stelle einen Satz parametrischer Gleichungen auf, sodass $x = p + a t$ , $y = q + b t$ und $z = r + c t$ .

3. Setze diese Gleichungen in die Gleichung für die Ebene $P_{2}$ ein, sodass $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ und löse nach $t$ auf.

4. Löse die parametrischen Gleichungen $x = p + a t$ , $y = q + b t$ und $z = r + c t$ unter Verwendung des Wertes von $t$ nach $t$ auf, um den Schnittpunkt $(x, y, z)$ zu finden.

Schritt 3

Ermittle die Normalenvektoren für jede Ebene und stelle fest, ob sie senkrecht zueinander sind durch Berechnung des Skalarprodukts.

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Schritt 3.1

$P_{1}$ ist $- y - x = 5$ . Finde den Normalvektor $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ der Ebenengleichung der Form $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ - 1, - 1, 0 ⟩$

Schritt 3.2

$P_{2}$ ist $x - \frac{8 y}{3} = 0$ . Finde den Normalvektor $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ der Ebenengleichung der Form $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 1, - \frac{8}{3}, 0 ⟩$

Schritt 3.3

Berechne das Skalarprodukt von $n_{1}$ und $n_{2}$ , durch Summieren der Produkte der entsprechenden $x$ , $y$ und $z$ Werte in den Normalvektoren.

$- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4

Vereinfache das Skalarprodukt.

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Schritt 3.4.1

Entferne die Klammern.

$- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4.2.2

Multipliziere $- 1 (- \frac{8}{3})$ .

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Schritt 3.4.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 1 + 1 (\frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $1$ .

$- 1 + \frac{8}{3} + 0 \cdot 0$

Schritt 3.4.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$- 1 + \frac{8}{3} + 0$

Schritt 3.4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} + 0$

Schritt 3.4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} + 0$

Schritt 3.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 8}{3} + 0$

Schritt 3.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 3 + 8}{3} + 0$

Schritt 3.4.6.2

Addiere $- 3$ und $8$ .

$\frac{5}{3} + 0$

Schritt 3.4.7

Addiere $\frac{5}{3}$ und $0$ .

$\frac{5}{3}$

Schritt 4

Als Nächstes erzeuge einen Satz parametrischer Gleichungen $x = p + a t$ , $y = q + b t$ und $z = r + c t$ unter Verwendung des Ursprungs $(0, 0, 0)$ für den Punkt $(p, q, r)$ und der Werte des Normalenvektors $\frac{5}{3}$ für die Werte von $a$ , $b$ und $c$ . Dieser Satz Parameterdarstellungen stellt die Gerade durch den Ursprung dar, die senkrecht auf $P_{1}$ $- y - x = 5$ steht.

$x = 0 + - 1 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Schritt 5

Setze den Ausdruck für $x$ , $y$ und $z$ in die Gleichung für $P_{2}$ , $x - \frac{8 y}{3} = 0$ , ein.

$(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3} = 0$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $t$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache $(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3}$ .

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Schritt 6.1.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Subtrahiere $1 \cdot t$ von $0$ .

$- 1 \cdot t - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3} = 0$

Schritt 6.1.1.2

Subtrahiere $1 \cdot t$ von $0$ .

$- 1 \cdot t - \frac{8 (- 1 \cdot t)}{3} = 0$

Schritt 6.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$- t - \frac{8 (- 1 \cdot t)}{3} = 0$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- t - \frac{- 8 t}{3} = 0$

Schritt 6.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- t - - \frac{8 t}{3} = 0$

Schritt 6.1.2.4

Multipliziere $- - \frac{8 t}{3}$ .

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Schritt 6.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- t + 1 \frac{8 t}{3} = 0$

Schritt 6.1.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{8 t}{3}$ mit $1$ .

$- t + \frac{8 t}{3} = 0$

Schritt 6.1.3

Um $- t$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- t \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 t}{3} = 0$

Schritt 6.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.4.1

Kombiniere $- t$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- t \cdot 3}{3} + \frac{8 t}{3} = 0$

Schritt 6.1.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- t \cdot 3 + 8 t}{3} = 0$

Schritt 6.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.5.1

Faktorisiere $t$ aus $- t \cdot 3 + 8 t$ heraus.

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Schritt 6.1.5.1.1

Faktorisiere $t$ aus $- t \cdot 3$ heraus.

$\frac{t (- 1 \cdot 3) + 8 t}{3} = 0$

Schritt 6.1.5.1.2

Faktorisiere $t$ aus $8 t$ heraus.

$\frac{t (- 1 \cdot 3) + t \cdot 8}{3} = 0$

Schritt 6.1.5.1.3

Faktorisiere $t$ aus $t (- 1 \cdot 3) + t \cdot 8$ heraus.

$\frac{t (- 1 \cdot 3 + 8)}{3} = 0$

Schritt 6.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{t (- 3 + 8)}{3} = 0$

Schritt 6.1.5.3

Addiere $- 3$ und $8$ .

$\frac{t \cdot 5}{3} = 0$

Schritt 6.1.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $t$ .

$\frac{5 t}{3} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$5 t = 0$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $5 t = 0$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 t = 0$ durch $5$ .

$\frac{5 t}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 t}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{0}{5}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Dividiere $0$ durch $5$ .

$t = 0$

Schritt 7

Löse die parametrischen Gleichungen nach $x$ , $y$ und $z$ auf durch Verwendung des Wertes von $t$ .

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Schritt 7.1

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1.1

Entferne die Klammern.

$x = 0 - 1 \cdot 0$

Schritt 7.1.2

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$x = 0$

Schritt 7.2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 7.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0 - 1 \cdot 0$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$y = 0$

Schritt 7.3

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 7.3.1

Entferne die Klammern.

$z = 0 + 0 \cdot (0)$

Schritt 7.3.2

Vereinfache $0 + 0 \cdot (0)$ .

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Schritt 7.3.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$z = 0 + 0$

Schritt 7.3.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$z = 0$

Schritt 7.4

Die gelösten parametrischen Gleichungen für $x$ , $y$ und $z$ .

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Schritt 8

Die für $x$ , $y$ und $z$ berechneten Wertte anwenden, der Schnittpunkt ist $(0, 0, 0)$ .

$(0, 0, 0)$