Algebra Beispiele

$h (x) = \frac{8}{\sqrt{8 x + 10}}$

Schritt 1

Faktorisiere $2$ aus $8 x + 10$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$h (x) = \frac{8}{\sqrt{2 (4 x) + 10}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$h (x) = \frac{8}{\sqrt{2 (4 x) + 2 (5)}}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x) + 2 (5)$ heraus.

$h (x) = \frac{8}{\sqrt{2 (4 x + 5)}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{2 (4 x + 5)}}$ mit $\frac{\sqrt{2 (4 x + 5)}}{\sqrt{2 (4 x + 5)}}$ .

$h (x) = \frac{8}{\sqrt{2 (4 x + 5)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (4 x + 5)}}{\sqrt{2 (4 x + 5)}}$

Schritt 3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{2 (4 x + 5)}}$ mit $\frac{\sqrt{2 (4 x + 5)}}{\sqrt{2 (4 x + 5)}}$ .

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{\sqrt{2 (4 x + 5)} \sqrt{2 (4 x + 5)}}$

Schritt 3.2

Potenziere $\sqrt{2 (4 x + 5)}$ mit $1$ .

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{\sqrt{2 (4 x + 5)} \sqrt{2 (4 x + 5)}}$

Schritt 3.3

Potenziere $\sqrt{2 (4 x + 5)}$ mit $1$ .

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{\sqrt{2 (4 x + 5)} \sqrt{2 (4 x + 5)}}$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{{\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{{\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{2}}$

Schritt 3.6

Schreibe ${\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{2}$ als $2 (4 x + 5)$ um.

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Schritt 3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (4 x + 5)}$ als ${(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{{({(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{2 (4 x + 5)}$

Schritt 3.6.5

Vereinfache.

$h (x) = \frac{8 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{2 (4 x + 5)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $8 \sqrt{2 (4 x + 5)}$ heraus.

$h (x) = \frac{2 (4 \sqrt{2 (4 x + 5)})}{2 (4 x + 5)}$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h (x) = \frac{2 (4 \sqrt{2 (4 x + 5)})}{2 (4 x + 5)}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$h (x) = \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{4 x + 5}$

Schritt 5

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 6

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 6.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 6.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$h (x + h) = \frac{4 \sqrt{2 (4 (x + h) + 5)}}{4 (x + h) + 5}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$h (x + h) = \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 (x + h) + 5}$

Schritt 6.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$h (x + h) = \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5}$

Schritt 6.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5}$ .

$\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5}$

Schritt 6.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$h (x + h) = \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5}$

$h (x) = \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{4 x + 5}$

$h (x + h) = \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5}$

$h (x) = \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{4 x + 5}$

Schritt 7

Setze die Komponenten ein.

$\frac{h (x + h) - h x}{h} = \frac{\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5} - (\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{4 x + 5})}{h}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Um $\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 x + 5}{4 x + 5}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5} \cdot \frac{4 x + 5}{4 x + 5} - \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{4 x + 5}}{h}$

Schritt 8.1.2

Um $- \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{4 x + 5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 x + 4 h + 5}{4 x + 4 h + 5}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5} \cdot \frac{4 x + 5}{4 x + 5} - \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{4 x + 5} \cdot \frac{4 x + 4 h + 5}{4 x + 4 h + 5}}{h}$

Schritt 8.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}}{4 x + 4 h + 5}$ mit $\frac{4 x + 5}{4 x + 5}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)} - \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{4 x + 5} \cdot \frac{4 x + 4 h + 5}{4 x + 4 h + 5}}{h}$

Schritt 8.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)}}{4 x + 5}$ mit $\frac{4 x + 4 h + 5}{4 x + 4 h + 5}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)} - \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5)}{(4 x + 5) (4 x + 4 h + 5)}}{h}$

Schritt 8.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(4 x + 5) (4 x + 4 h + 5)$ um.

$\frac{\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)} - \frac{4 \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Schritt 8.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5) - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Schritt 8.1.5

Schreibe $\frac{4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5) - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 8.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5) - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5)$ heraus.

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Schritt 8.1.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5)$ heraus.

$\frac{\frac{4 (\sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5)) - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Schritt 8.1.5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5)$ heraus.

$\frac{\frac{4 (\sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5)) + 4 (- \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5))}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Schritt 8.1.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (\sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5)) + 4 (- \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5))$ heraus.

$\frac{\frac{4 (\sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x + 5) - \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5))}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Schritt 8.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{4 (\sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} (4 x) + \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} \cdot 5 - \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5))}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Schritt 8.1.5.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} \cdot 5 - \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5))}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Schritt 8.1.5.4

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)}$ .

$\frac{\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \cdot \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x + 4 h + 5))}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Schritt 8.1.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 x) - \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 h) - \sqrt{2 (4 x + 5)} \cdot 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Schritt 8.1.5.6

Vereinfache.

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Schritt 8.1.5.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} x - \sqrt{2 (4 x + 5)} (4 h) - \sqrt{2 (4 x + 5)} \cdot 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Schritt 8.1.5.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} x - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} h - \sqrt{2 (4 x + 5)} \cdot 5)}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Schritt 8.1.5.6.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} x - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} h - 5 \sqrt{2 (4 x + 5)})}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}}{h}$

Schritt 8.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} x - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} h - 5 \sqrt{2 (4 x + 5)})}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} x - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} h - 5 \sqrt{2 (4 x + 5)})}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}$ mit $\frac{1}{h}$ .

$\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} x - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} h - 5 \sqrt{2 (4 x + 5)})}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5) h}$

Schritt 8.4

Stelle die Faktoren in $\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} x - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} h - 5 \sqrt{2 (4 x + 5)})}{(4 x + 4 h + 5) (4 x + 5) h}$ um.

$\frac{4 (4 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} x + 5 \sqrt{2 (4 x + 4 h + 5)} - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} x - 4 \sqrt{2 (4 x + 5)} h - 5 \sqrt{2 (4 x + 5)})}{h (4 x + 4 h + 5) (4 x + 5)}$

Schritt 9