Algebra Beispiele

$x^{2} + 4 x + 2 y + 10 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x + 2 y + 10 = - x^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y + 10 = - x^{2} - 4 x$

Schritt 1.1.1.3

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = - x^{2} - 4 x - 10$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - x^{2} - 4 x - 10$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - x^{2} - 4 x - 10$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- x^{2}}{2} + \frac{- 4 x}{2} + \frac{- 10}{2}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- x^{2}}{2} + \frac{- 4 x}{2} + \frac{- 10}{2}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{2} + \frac{- 4 x}{2} + \frac{- 10}{2}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 4 x}{2} + \frac{- 10}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 x)}{2} + \frac{- 10}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 x)}{2 (1)} + \frac{- 10}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 x)}{2 \cdot 1} + \frac{- 10}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{1} + \frac{- 10}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.4

Dividiere $- 2 x$ durch $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{- 10}{2}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Dividiere $- 10$ durch $2$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 5$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 5$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - 2$

$c = - 5$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = 2$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 5 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = - 5 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - 5 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = - 5 - \frac{4}{\frac{- 4}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$e = - 5 - \frac{4}{- 2}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Dividiere $4$ durch $- 2$ .

$e = - 5 - - 2$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$e = - 5 + 2$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $- 5$ und $2$ .

$e = - 3$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 3$ ein.

$- \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 3$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{2} - 3$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$h = - 2$

$k = - 3$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 2, - 3)$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Schritt 4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 4.3.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 5

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2, - \frac{7}{2})$

Schritt 6