Algebra Beispiele

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{8} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{12} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{8} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{12} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = 2 \sqrt{2}$

$k = - 1$

$h = 5$

Schritt 4

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 5

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{12 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.5

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{2}$ an.

$\frac{\sqrt{12 - (2^{2} {\sqrt{2}}^{2})}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{12 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{12 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{1})}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2)}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.8

Multipliziere $- (4 \cdot 2)$ .

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Schritt 6.1.8.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{12 - 1 \cdot 8}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{\sqrt{12 - 8}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.9

Subtrahiere $8$ von $12$ .

$\frac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.10

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 6.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 6.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 6.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 6.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 6.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$0.57735026 \dots$

Schritt 8