Algebra Beispiele

$y = 4 x^{2} + \frac{1}{2} x + 3$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$y = 4 x^{2} + \frac{x}{2} + 3$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 x^{2} + \frac{x}{2} + 3$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = \frac{1}{2}$

$c = 3$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 1.2.3.2.3

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 8}$

Schritt 1.2.3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$d = \frac{1}{16}$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 3 - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$e = 3 - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 3 - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 3 - \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 3 - \frac{\frac{1}{4}}{16}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 3 - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{16})$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Multipliziere $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{16}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{16}$ .

$e = 3 - \frac{1}{4 \cdot 16}$

Schritt 1.2.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$e = 3 - \frac{1}{64}$

Schritt 1.2.4.2.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{64}{64}$ .

$e = 3 \cdot \frac{64}{64} - \frac{1}{64}$

Schritt 1.2.4.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{64}{64}$ .

$e = \frac{3 \cdot 64}{64} - \frac{1}{64}$

Schritt 1.2.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{3 \cdot 64 - 1}{64}$

Schritt 1.2.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $64$ .

$e = \frac{192 - 1}{64}$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $192$ .

$e = \frac{191}{64}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(x + \frac{1}{16})}^{2} + \frac{191}{64}$ ein.

$4 {(x + \frac{1}{16})}^{2} + \frac{191}{64}$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 4 {(x + \frac{1}{16})}^{2} + \frac{191}{64}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 4$

$h = - \frac{1}{16}$

$k = \frac{191}{64}$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{16}, \frac{191}{64})$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{1}{16}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{1}{16}, \frac{195}{64})$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - \frac{1}{16}$

Schritt 8