Algebra Beispiele

$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{7}$

Schritt 1

Wurzeln sind die Punkte, wo der Graph die x-Achse schneidet $(y = 0)$ .

$y = 0$ an den Wurzeln

Schritt 2

Die Wurzel bei $x = \frac{1}{2}$ wurde durch Auflösen nach $x$ bestimmt, wenn $x - (\frac{1}{2}) = y$ und $y = 0$ .

Der Faktor ist $x - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Die Wurzel bei $x = \frac{1}{3}$ wurde durch Auflösen nach $x$ bestimmt, wenn $x - (\frac{1}{3}) = y$ und $y = 0$ .

Der Faktor ist $x - \frac{1}{3}$

Schritt 4

Die Wurzel bei $x = \frac{1}{7}$ wurde durch Auflösen nach $x$ bestimmt, wenn $x - (\frac{1}{7}) = y$ und $y = 0$ .

Der Faktor ist $x - \frac{1}{7}$

Schritt 5

Vereinige alle Faktoren in einer einzelnen Gleichung.

$y = (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6

Multipliziere alle Faktoren, um die Gleichung $y = (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$ zu vereinfachen.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = (x (x - \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = (x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = (x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = (x^{2} + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.2.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.2.1.4

Multipliziere $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{3})$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.2.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3}) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.2.1.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.2.2

Um $- \frac{x}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.2.3

Um $- \frac{x}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = (x^{2} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.2.6

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$y = (x^{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.2.7

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{6}{6}$ .

$y = (\frac{x^{2} \cdot 6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = (\frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3 + 1}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Stelle die Terme um.

$y = \frac{6 x^{2} - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{(6 x^{2} - 1 \cdot (2 x)) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{2 x (3 x - 1) - (3 x - 1)}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Schritt 6.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot x + \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot (- \frac{1}{7})$

Schritt 6.4.2

Kombiniere $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6}$ und $x$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} + \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot (- \frac{1}{7})$

Schritt 6.5

Multipliziere $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} (- \frac{1}{7})$ .

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6}$ mit $\frac{1}{7}$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6 \cdot 7}$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Schritt 6.6

Um $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} \cdot \frac{7}{7} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Schritt 6.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $42$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.7.1

Mutltipliziere $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7}{6 \cdot 7} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Schritt 6.7.2

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7}{42} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Schritt 6.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7 - (3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Schritt 6.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.9.1

Faktorisiere $(3 x - 1) (2 x - 1)$ aus $(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7 - (3 x - 1) (2 x - 1)$ heraus.

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Schritt 6.9.1.1

Faktorisiere $(3 x - 1) (2 x - 1)$ aus $(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7$ heraus.

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7) - (3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Schritt 6.9.1.2

Faktorisiere $(3 x - 1) (2 x - 1)$ aus $- (3 x - 1) (2 x - 1)$ heraus.

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7) + (3 x - 1) (2 x - 1) (- 1)}{42}$

Schritt 6.9.1.3

Faktorisiere $(3 x - 1) (2 x - 1)$ aus $(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7) + (3 x - 1) (2 x - 1) (- 1)$ heraus.

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7 - 1)}{42}$

Schritt 6.9.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (7 x - 1)}{42}$

Schritt 6.10

Multipliziere $(3 x - 1) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(3 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) (7 x - 1)}{42}$

Schritt 6.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) (7 x - 1)}{42}$

Schritt 6.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Schritt 6.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.11.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{(3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Schritt 6.11.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.11.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{(3 \cdot (2 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Schritt 6.11.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{(3 \cdot (2 x^{2}) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Schritt 6.11.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{(6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Schritt 6.11.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 3 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Schritt 6.11.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 3 x - 2 x - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Schritt 6.11.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 3 x - 2 x + 1) (7 x - 1)}{42}$

Schritt 6.11.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 3 x$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 5 x + 1) (7 x - 1)}{42}$

Schritt 6.12

Multipliziere $(6 x^{2} - 5 x + 1) (7 x - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$y = \frac{6 x^{2} (7 x) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Schritt 6.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.13.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{6 \cdot (7 x^{2} x) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Schritt 6.13.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.13.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{6 \cdot (7 (x \cdot x^{2})) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Schritt 6.13.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 6.13.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{6 \cdot (7 (x \cdot x^{2})) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Schritt 6.13.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{6 \cdot (7 x^{1 + 2}) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Schritt 6.13.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{6 \cdot (7 x^{3}) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Schritt 6.13.3

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$y = \frac{42 x^{3} + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Schritt 6.13.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Schritt 6.13.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 \cdot (7 x \cdot x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Schritt 6.13.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.13.6.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 \cdot (7 (x \cdot x)) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Schritt 6.13.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 \cdot (7 x^{2}) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Schritt 6.13.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $7$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Schritt 6.13.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} + 5 x + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Schritt 6.13.9

Mutltipliziere $7 x$ mit $1$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} + 5 x + 7 x + 1 \cdot - 1}{42}$

Schritt 6.13.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} + 5 x + 7 x - 1}{42}$

Schritt 6.14

Subtrahiere $35 x^{2}$ von $- 6 x^{2}$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 5 x + 7 x - 1}{42}$

Schritt 6.15

Addiere $5 x$ und $7 x$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x - 1}{42}$

Schritt 6.16

Zerlege den Bruch $\frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x - 1}{42}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Schritt 6.17

Zerlege den Bruch $\frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x}{42}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Schritt 6.18

Zerlege den Bruch $\frac{42 x^{3} - 41 x^{2}}{42}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{42 x^{3}}{42} + \frac{- 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Schritt 6.19

Kürze den gemeinsamen Faktor von $42$ .

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Schritt 6.19.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{42 x^{3}}{42} + \frac{- 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Schritt 6.19.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Schritt 6.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Schritt 6.21

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $42$ .

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Schritt 6.21.1

Faktorisiere $6$ aus $12 x$ heraus.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{6 (2 x)}{42} + \frac{- 1}{42}$

Schritt 6.21.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.21.2.1

Faktorisiere $6$ aus $42$ heraus.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{6 (2 x)}{6 (7)} + \frac{- 1}{42}$

Schritt 6.21.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{6 (2 x)}{6 \cdot 7} + \frac{- 1}{42}$

Schritt 6.21.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{2 x}{7} + \frac{- 1}{42}$

Schritt 6.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{2 x}{7} - \frac{1}{42}$

Schritt 7