Algebra Beispiele

$f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} + 16 x^{2} + 27 x - 18$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$f (x) = 3 x^{3} + 27 x + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Schritt 2

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{3} + 27 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$f (x) = 3 x (x^{2}) + 27 x + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Schritt 2.2

Faktorisiere $3 x$ aus $27 x$ heraus.

$f (x) = 3 x (x^{2}) + 3 x (9) + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Schritt 2.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x^{2}) + 3 x (9)$ heraus.

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Schritt 3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4}) + 16 x^{2} - 18$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4}) + 2 (8 x^{2}) - 18$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 x^{4} + 2 (8 x^{2}) + 2 \cdot - 9$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4} + 2 (8 x^{2})$ heraus.

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4} + 8 x^{2}) + 2 \cdot - 9$

Schritt 3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{4} + 8 x^{2}) + 2 \cdot - 9$ heraus.

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4} + 8 x^{2} - 9)$

Schritt 4

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 9)$

Schritt 5

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (u^{2} + 8 u - 9)$

Schritt 6

Faktorisiere $u^{2} + 8 u - 9$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + i x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $i$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 9$ und deren Summe $8$ ist.

$f (x) = - 1, 9$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((u - 1) (u + 9))$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((x^{2} - 1) (x^{2} + 9))$

Schritt 8

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 9))$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , mit $a = x$ und $i = 1$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9))$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$

Schritt 10

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $3 x (x^{2} + 9) + 2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ heraus.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $3 x (x^{2} + 9)$ heraus.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x) + 2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$

Schritt 10.2

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ heraus.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x) + (x^{2} + 9) (2 (x + 1) (x - 1))$

Schritt 10.3

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $(x^{2} + 9) (3 x) + (x^{2} + 9) (2 (x + 1) (x - 1))$ heraus.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 (x + 1) (x - 1))$

Schritt 11

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + (2 x + 2 \cdot 1) (x - 1))$

Schritt 12

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + (2 x + 2) (x - 1))$

Schritt 13

Multipliziere $(2 x + 2) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x (x - 1) + 2 (x - 1))$

Schritt 13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 (x - 1))$

Schritt 13.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Schritt 14

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.1.1.1

Bewege $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Schritt 14.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Schritt 14.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2)$

Schritt 14.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} + 0 - 2)$

Schritt 14.3

Addiere $2 x^{2}$ und $0$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} - 2)$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 3 x - 2)$

Schritt 16

Faktorisiere.

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Schritt 16.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 16.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + i x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ und deren Summe gleich $i = 3$ ist.

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Schritt 16.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 3 (x) - 2)$

Schritt 16.1.1.2

Schreibe $3$ um als $- 1$ plus $4$

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2)$

Schritt 16.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2)$

Schritt 16.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 16.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (x) = (x^{2} + 9) ((2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2)$

Schritt 16.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (x) = (x^{2} + 9) (x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1))$

Schritt 16.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) ((2 x - 1) (x + 2))$

Schritt 16.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 2)$