Algebra Beispiele

$f (x) = x^{4} + 5 x^{2} + 4$

Schritt 1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f (x) = {(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} + 4$

Schritt 2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f (x) = u^{2} + 5 u + 4$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} + 5 u + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $5$ ist.

$1, 4$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f (x) = (u + 1) (u + 4)$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f (x) = (x^{2} + 1) (x^{2} + 4)$

Schritt 5

Faktorisiere die komplexen Zahlen.

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Schritt 5.1

Multipliziere die Konstante im Polynom $x^{2} + 1$ mit $- i^{2}$ , wobei $i^{2}$ gleich $- 1$ ist.

$f (x) = (x^{2} - 1 i^{2}) (x^{2} + 4)$

Schritt 5.2

Multipliziere die Konstante im Polynom $x^{2} + 4$ mit $- i^{2}$ , wobei $i^{2}$ gleich $- 1$ ist.

$f (x) = (x^{2} - 1 i^{2}) (x^{2} - 4 i^{2})$

Schritt 5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , mit $a = x$ und $i = i$ .

$f (x) = (x + i) (x - i) (x^{2} - 4 i^{2})$

Schritt 5.4

Schreibe $4 i^{2}$ als ${(2 i)}^{2}$ um.

$f (x) = (x + i) (x - i) (x^{2} - {(2 i)}^{2})$

Schritt 5.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , mit $a = x$ und $i = 2 i$ .

$f (x) = (x + i) (x - i) ((x + 2 i) (x - (2 i)))$

Schritt 5.6

Faktorisiere.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x) = (x + i) (x - i) ((x + 2 i) (x - 2 i))$

Schritt 5.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = (x + i) (x - i) (x + 2 i) (x - 2 i)$