Algebra Beispiele

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9^{2}} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{6^{2}} > 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{{(x + 4)}^{2}}{9^{2}}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{6^{2}} > 1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9^{2}}$

Schritt 2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > 1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache $1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > 1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{81}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{81}{81} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{81}$

Schritt 3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{81 - {(x + 4)}^{2}}{81}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{9^{2} - {(x + 4)}^{2}}{81}$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 9$ und $b = x + 4$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{(9 + x + 4) (9 - (x + 4))}{81}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Addiere $9$ und $4$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{(x + 13) (9 - (x + 4))}{81}$

Schritt 3.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{(x + 13) (9 - x - 1 \cdot 4)}{81}$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{(x + 13) (9 - x - 4)}{81}$

Schritt 3.2.3.4

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{(x + 13) (- x + 5)}{81}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{(x + 13) (- (x) + 5)}{81}$

Schritt 3.3.2

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{(x + 13) (- (x) - 1 (- 5))}{81}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 5)$ heraus.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{(x + 13) (- (x - 5))}{81}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.4.1

Schreibe $- (x - 5)$ als $- 1 (x - 5)$ um.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > \frac{(x + 13) (- 1 (x - 5))}{81}$

Schritt 3.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} > - \frac{(x + 13) (x - 5)}{81}$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten mit $36$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} \cdot 36 > - \frac{(x + 13) (x - 5)}{81} \cdot 36$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $36$ .

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Schritt 5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{36} \cdot 36 > - \frac{(x + 13) (x - 5)}{81} \cdot 36$

Schritt 5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 1)}^{2} > - \frac{(x + 13) (x - 5)}{81} \cdot 36$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- \frac{(x + 13) (x - 5)}{81} \cdot 36$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{(x + 13) (x - 5)}{81}$ in den Zähler.

${(y + 1)}^{2} > \frac{- (x + 13) (x - 5)}{81} \cdot 36$

Schritt 5.2.1.1.2

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

${(y + 1)}^{2} > \frac{- (x + 13) (x - 5)}{9 (9)} \cdot 36$

Schritt 5.2.1.1.3

Faktorisiere $9$ aus $36$ heraus.

${(y + 1)}^{2} > \frac{- (x + 13) (x - 5)}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot 4)$

Schritt 5.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 1)}^{2} > \frac{- (x + 13) (x - 5)}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot 4)$

Schritt 5.2.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

${(y + 1)}^{2} > \frac{- (x + 13) (x - 5)}{9} \cdot 4$

Schritt 5.2.1.2

Kombiniere $\frac{- (x + 13) (x - 5)}{9}$ und $4$ .

${(y + 1)}^{2} > \frac{- (x + 13) (x - 5) \cdot 4}{9}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

${(y + 1)}^{2} > \frac{- 4 (x + 13) (x - 5)}{9}$

Schritt 5.2.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(y + 1)}^{2} > - \frac{4 (x + 13) (x - 5)}{9}$

Schritt 6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{{(y + 1)}^{2}} > \sqrt{- \frac{4 (x + 13) (x - 5)}{9}}$

Schritt 6.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| y + 1 | > \sqrt{- \frac{4 (x + 13) (x - 5)}{9}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $\sqrt{- \frac{4 (x + 13) (x - 5)}{9}}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Schreibe $- \frac{4 (x + 13) (x - 5)}{9}$ als ${(\frac{2}{3})}^{2} \cdot (- (x + 13) (x - 5))$ um.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4 (x + 13) (x - 5)$ heraus.

$| y + 1 | > \sqrt{- \frac{2^{2} ((x + 13) (x - 5))}{9}}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$| y + 1 | > \sqrt{- \frac{2^{2} ((x + 13) (x - 5))}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Ordne den Bruch $\frac{2^{2} ((x + 13) (x - 5))}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$| y + 1 | > \sqrt{- ({(\frac{2}{3})}^{2} ((x + 13) (x - 5)))}$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Stelle $- 1$ und ${(\frac{2}{3})}^{2}$ um.

$| y + 1 | > \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} \cdot - 1 (x + 13) (x - 5)}$

Schritt 6.2.2.1.1.5

Füge Klammern hinzu.

$| y + 1 | > \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} \cdot - 1 ((x + 13) (x - 5))}$

Schritt 6.2.2.1.1.6

Füge Klammern hinzu.

$| y + 1 | > \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} \cdot (- (x + 13) (x - 5))}$

Schritt 6.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| y + 1 | > | \frac{2}{3} | \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}$

Schritt 6.2.2.1.3

$\frac{2}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{6}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$| y + 1 | > \frac{2}{3} \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}$

Schritt 6.2.2.1.4

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\sqrt{- (x + 13) (x - 5)}$ .

$| y + 1 | > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$

Schritt 6.3

Schreibe $| y + 1 | > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 6.3.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$y + 1 \geq 0$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$y \geq - 1$

Schritt 6.3.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $y + 1$ nicht negativ ist.

$y + 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$

Schritt 6.3.4

Bestimme den Definitionsbereich von $y + 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$ und ermittle die Schnittmenge mit $y \geq - 1$ .

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Schritt 6.3.4.1

Bestimme den Definitionsbereich von $y + 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$ .

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Schritt 6.3.4.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{- (x + 13) (x - 5)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- (x + 13) (x - 5) \geq 0$

Schritt 6.3.4.1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.3.4.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- (x + 13) (x - 5) \geq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.4.1.2.1.1

Teile jeden Term in $- (x + 13) (x - 5) \geq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- (x + 13) (x - 5)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.4.1.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.4.1.2.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.4.1.2.1.2.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{(x + 13) (x - 5)}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.4.1.2.1.2.1.2

Dividiere $(x + 13) (x - 5)$ durch $1$ .

$(x + 13) (x - 5) \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.4.1.2.1.2.2

Multipliziere $(x + 13) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.4.1.2.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 5) + 13 (x - 5) \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.4.1.2.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 5 + 13 (x - 5) \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.4.1.2.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 5 + 13 x + 13 \cdot - 5 \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.4.1.2.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.4.1.2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.4.1.2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 5 + 13 x + 13 \cdot - 5 \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.4.1.2.1.2.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 5 \cdot x + 13 x + 13 \cdot - 5 \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.4.1.2.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $13$ mit $- 5$ .

$x^{2} - 5 x + 13 x - 65 \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.4.1.2.1.2.3.2

Addiere $- 5 x$ und $13 x$ .

$x^{2} + 8 x - 65 \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.4.1.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.4.1.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x^{2} + 8 x - 65 \leq 0$

Schritt 6.3.4.1.2.2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} + 8 x - 65 = 0$

Schritt 6.3.4.1.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 8 x - 65$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.3.4.1.2.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 65$ und deren Summe $8$ ist.

$- 5, 13$

Schritt 6.3.4.1.2.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 5) (x + 13) = 0$

Schritt 6.3.4.1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 13 = 0$

Schritt 6.3.4.1.2.5

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.4.1.2.5.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 6.3.4.1.2.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 6.3.4.1.2.6

Setze $x + 13$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.4.1.2.6.1

Setze $x + 13$ gleich $0$ .

$x + 13 = 0$

Schritt 6.3.4.1.2.6.2

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 13$

Schritt 6.3.4.1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 13) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 13$

Schritt 6.3.4.1.2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 13$

$- 13 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 6.3.4.1.2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.3.4.1.2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 13$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.4.1.2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 13$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 16$

Schritt 6.3.4.1.2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 16$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- ((- 16) + 13) ((- 16) - 5) \geq 0$

Schritt 6.3.4.1.2.9.1.3

Die linke Seite $- 63$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.3.4.1.2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 13 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.4.1.2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 13 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 6.3.4.1.2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- ((0) + 13) ((0) - 5) \geq 0$

Schritt 6.3.4.1.2.9.2.3

Die linke Seite $65$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.3.4.1.2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.4.1.2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 6.3.4.1.2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- ((8) + 13) ((8) - 5) \geq 0$

Schritt 6.3.4.1.2.9.3.3

Die linke Seite $- 63$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.3.4.1.2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 13$ Falsch

$- 13 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

$x < - 13$ Falsch

$- 13 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

Schritt 6.3.4.1.2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 13 \leq x \leq 5$

Schritt 6.3.4.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 13, 5]$

Schritt 6.3.4.2

Bestimme die Schnittmenge von $y \geq - 1$ und $[- 13, 5]$ .

$- 1 \leq y \leq 5$

Schritt 6.3.5

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$y + 1 < 0$

Schritt 6.3.6

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$y < - 1$

Schritt 6.3.7

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $y + 1$ negativ ist.

$- (y + 1) > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$

Schritt 6.3.8

Bestimme den Definitionsbereich von $- (y + 1) > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$ und ermittle die Schnittmenge mit $y < - 1$ .

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Schritt 6.3.8.1

Bestimme den Definitionsbereich von $- (y + 1) > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$ .

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Schritt 6.3.8.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{- (x + 13) (x - 5)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- (x + 13) (x - 5) \geq 0$

Schritt 6.3.8.1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.3.8.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- (x + 13) (x - 5) \geq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.8.1.2.1.1

Teile jeden Term in $- (x + 13) (x - 5) \geq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- (x + 13) (x - 5)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.8.1.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.8.1.2.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.8.1.2.1.2.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{(x + 13) (x - 5)}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.8.1.2.1.2.1.2

Dividiere $(x + 13) (x - 5)$ durch $1$ .

$(x + 13) (x - 5) \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.8.1.2.1.2.2

Multipliziere $(x + 13) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.8.1.2.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 5) + 13 (x - 5) \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.8.1.2.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 5 + 13 (x - 5) \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.8.1.2.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 5 + 13 x + 13 \cdot - 5 \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.8.1.2.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.8.1.2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.8.1.2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 5 + 13 x + 13 \cdot - 5 \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.8.1.2.1.2.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 5 \cdot x + 13 x + 13 \cdot - 5 \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.8.1.2.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $13$ mit $- 5$ .

$x^{2} - 5 x + 13 x - 65 \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.8.1.2.1.2.3.2

Addiere $- 5 x$ und $13 x$ .

$x^{2} + 8 x - 65 \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3.8.1.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.8.1.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x^{2} + 8 x - 65 \leq 0$

Schritt 6.3.8.1.2.2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} + 8 x - 65 = 0$

Schritt 6.3.8.1.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 8 x - 65$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.8.1.2.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 65$ und deren Summe $8$ ist.

$- 5, 13$

Schritt 6.3.8.1.2.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 5) (x + 13) = 0$

Schritt 6.3.8.1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 13 = 0$

Schritt 6.3.8.1.2.5

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.8.1.2.5.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 6.3.8.1.2.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 6.3.8.1.2.6

Setze $x + 13$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.8.1.2.6.1

Setze $x + 13$ gleich $0$ .

$x + 13 = 0$

Schritt 6.3.8.1.2.6.2

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 13$

Schritt 6.3.8.1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 13) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 13$

Schritt 6.3.8.1.2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 13$

$- 13 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 6.3.8.1.2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.3.8.1.2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 13$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.8.1.2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 13$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 16$

Schritt 6.3.8.1.2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 16$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- ((- 16) + 13) ((- 16) - 5) \geq 0$

Schritt 6.3.8.1.2.9.1.3

Die linke Seite $- 63$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.3.8.1.2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 13 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.8.1.2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 13 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 6.3.8.1.2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- ((0) + 13) ((0) - 5) \geq 0$

Schritt 6.3.8.1.2.9.2.3

Die linke Seite $65$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.3.8.1.2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.8.1.2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 6.3.8.1.2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- ((8) + 13) ((8) - 5) \geq 0$

Schritt 6.3.8.1.2.9.3.3

Die linke Seite $- 63$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.3.8.1.2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 13$ Falsch

$- 13 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

$x < - 13$ Falsch

$- 13 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

Schritt 6.3.8.1.2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 13 \leq x \leq 5$

Schritt 6.3.8.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 13, 5]$

Schritt 6.3.8.2

Bestimme die Schnittmenge von $y < - 1$ und $[- 13, 5]$ .

$- 13 \leq y < - 1$

Schritt 6.3.9

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} y + 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} & - 1 \leq y \leq 5 \\ - (y + 1) > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} & - 13 \leq y < - 1 \end{cases}$

Schritt 6.3.10

Vereinfache $- (y + 1) > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$ .

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Schritt 6.3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} y + 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} & - 1 \leq y \leq 5 \\ - y - 1 \cdot 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} & - 13 \leq y < - 1 \end{cases}$

Schritt 6.3.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${\begin{cases} y + 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} & - 1 \leq y \leq 5 \\ - y - 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} & - 13 \leq y < - 1 \end{cases}$

Schritt 6.4

Löse $y + 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$ , wenn $- 1 \leq y \leq 5$ ergibt.

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Schritt 6.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$y > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} - 1$

Schritt 6.4.2

Bestimme die Schnittmenge von $y > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} - 1$ und $- 1 \leq y \leq 5$ .

Keine Lösung

Schritt 6.5

Löse $- y - 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$ , wenn $- 13 \leq y < - 1$ ergibt.

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Schritt 6.5.1

Löse $- y - 1 > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}$ nach $y$ auf.

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Schritt 6.5.1.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- y > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} + 1$

Schritt 6.5.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- y > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} + 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.1.2.1

Teile jeden Term in $- y > \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} + 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- y}{- 1} < \frac{\frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.5.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} < \frac{\frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.5.1.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y < \frac{\frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.5.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.1.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y < \frac{\frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} + 1}{- 1}$

Schritt 6.5.1.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y < \frac{\frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)}}{3} + \frac{3}{3}}{- 1}$

Schritt 6.5.1.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y < \frac{\frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)} + 3}{3}}{- 1}$

Schritt 6.5.1.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.5.1.2.3.4.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)} + 3}{3}}{- 1}$ .

$y < - 1 \cdot \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)} + 3}{3}$

Schritt 6.5.1.2.3.4.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)} + 3}{3}$ als $- \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)} + 3}{3}$ um.

$y < - \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)} + 3}{3}$

Schritt 6.5.2

Bestimme die Schnittmenge von $y < - \frac{2 \sqrt{- (x + 13) (x - 5)} + 3}{3}$ und $- 13 \leq y < - 1$ .

$- 13 \leq y < N o (Min i m u m)$

Schritt 6.6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 13 \leq y < i N o Min m^{2} u$

Schritt 7