Algebra Beispiele

$5 x^{2} + 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $5 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 5 x^{2} = 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $9 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} = 10 x - 54 y + 41$

Schritt 1.1.3

Subtrahiere $10 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x = - 54 y + 41$

Schritt 1.1.4

Addiere $54 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 54 y = 41$

Schritt 1.1.5

Addiere $y$ und $54 y$ .

$- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 5 x^{2} - 10 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 5$

$b = - 10$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 5}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 5$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (- 5)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 5}{- 5}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 5}{- 5}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 5}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot - 5}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$e = 0 - \frac{100}{- 20}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $100$ durch $- 20$ .

$e = 0 - - 5$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$e = 0 + 5$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $0$ und $5$ .

$e = 5$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ ein.

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$

Schritt 1.3

Setze $- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ für $- 5 x^{2} - 10 x$ ein in der Gleichung $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5 - 9 y^{2} + 55 y = 41$

Schritt 1.4

Bringe $5$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $5$ auf beiden Seiten.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 y^{2} + 55 y = 41 - 5$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 9 y^{2} + 55 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 9$

$b = 55$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{55}{2 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$d = \frac{55}{- 18}$

Schritt 1.5.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{55}{18}$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{55^{2}}{4 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $55$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{3025}{4 \cdot - 9}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 9$ .

$e = 0 - \frac{3025}{- 36}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = 0 - - \frac{3025}{36}$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Multipliziere $- - \frac{3025}{36}$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{3025}{36})$

Schritt 1.5.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{3025}{36}$ mit $1$ .

$e = 0 + \frac{3025}{36}$

Schritt 1.5.4.2.2

Addiere $0$ und $\frac{3025}{36}$ .

$e = \frac{3025}{36}$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ ein.

$- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$

Schritt 1.6

Setze $- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ für $- 9 y^{2} + 55 y$ ein in der Gleichung $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36} = 41 - 5$

Schritt 1.7

Bringe $\frac{3025}{36}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{3025}{36}$ auf beiden Seiten.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = 41 - 5 - \frac{3025}{36}$

Schritt 1.8

Vereinfache $41 - 5 - \frac{3025}{36}$ .

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Schritt 1.8.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 1.8.1.1

Schreibe $41$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} - 5 - \frac{3025}{36}$

Schritt 1.8.1.2

Mutltipliziere $\frac{41}{1}$ mit $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} \cdot \frac{36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

Schritt 1.8.1.3

Mutltipliziere $\frac{41}{1}$ mit $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

Schritt 1.8.1.4

Schreibe $- 5$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} - \frac{3025}{36}$

Schritt 1.8.1.5

Mutltipliziere $\frac{- 5}{1}$ mit $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{36}{36} - \frac{3025}{36}$

Schritt 1.8.1.6

Mutltipliziere $\frac{- 5}{1}$ mit $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5 \cdot 36}{36} - \frac{3025}{36}$

Schritt 1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

Schritt 1.8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.3.1

Mutltipliziere $41$ mit $36$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

Schritt 1.8.3.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $36$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 180 - 3025}{36}$

Schritt 1.8.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.8.4.1

Subtrahiere $180$ von $1476$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1296 - 3025}{36}$

Schritt 1.8.4.2

Subtrahiere $3025$ von $1296$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{- 1729}{36}$

Schritt 1.8.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = - \frac{1729}{36}$

Schritt 1.9

Vertausche das Vorzeichen jedes Terms der Gleichung, sodass der Term auf der rechten Seite positiv ist.

$5 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1729}{36}$

Schritt 1.10

Teile jeden Term durch $\frac{1729}{36}$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{5 {(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{36}} + \frac{9 {(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{36}} = \frac{\frac{1729}{36}}{\frac{1729}{36}}$

Schritt 1.11

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{180}} + \frac{{(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{324}} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = \frac{\sqrt{8645}}{30}$

$b = \frac{\sqrt{1729}}{18}$

$k = \frac{55}{18}$

$h = - 1$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(- 1, \frac{55}{18})$

Schritt 5