Algebra Beispiele

$y = \frac{- 16 x^{2}}{0.434 v^{2}} + 1.15 x + 8$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [- \frac{16 x^{2}}{0.434 v^{2}} + 1.15 x + 8]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $16$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [- \frac{16 (x^{2})}{0.434 v^{2}} + 1.15 x + 8]$

Schritt 1.3

Faktorisiere $0.434$ aus $0.434 v^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [- \frac{16 (x^{2})}{0.434 (v^{2})} + 1.15 x + 8]$

Schritt 1.4

Separiere Brüche.

$\frac{d}{d x} [- (\frac{16}{0.434} \cdot \frac{x^{2}}{v^{2}}) + 1.15 x + 8]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 1.5.1

Dividiere $16$ durch $0.434$ .

$\frac{d}{d x} [- (36.86635944 \frac{x^{2}}{v^{2}}) + 1.15 x + 8]$

Schritt 1.5.2

Kombiniere $36.86635944$ und $\frac{x^{2}}{v^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}} + 1.15 x + 8]$

Schritt 1.5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}} + 1.15 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}}] + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}}] + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.6

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}}]$ .

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Schritt 1.6.1

Da $- \frac{36.86635944}{v^{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{36.86635944}{v^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{36.86635944}{v^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{36.86635944}{v^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{36.86635944}{v^{2}} x + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.6.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{36.86635944}{v^{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 36.86635944}{v^{2}} x + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.6.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $36.86635944$ .

$\frac{- 73.73271889}{v^{2}} x + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.6.6

Kombiniere $\frac{- 73.73271889}{v^{2}}$ und $x$ .

$\frac{- 73.73271889 x}{v^{2}} + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.7

Berechne $\frac{d}{d x} [1.15 x]$ .

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Schritt 1.7.1

Da $1.15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1.15 x$ nach $x$ gleich $1.15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.7.3

Mutltipliziere $1.15$ mit $1$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.8

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.8.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 + 0$

Schritt 1.8.2

Addiere $- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15$ und $0$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{73.73271889 x}{v^{2}}] + \frac{d}{d x} [1.15]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{73.73271889 x}{v^{2}}) + \frac{d}{d x} (1.15)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{73.73271889 x}{v^{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- \frac{73.73271889}{v^{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{73.73271889 x}{v^{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{73.73271889}{v^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{73.73271889}{v^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1.15)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{73.73271889}{v^{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1.15)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{73.73271889}{v^{2}} + \frac{d}{d x} (1.15)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $1.15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1.15$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{73.73271889}{v^{2}} + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $- \frac{73.73271889}{v^{2}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{73.73271889}{v^{2}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [- \frac{16 x^{2}}{0.434 v^{2}} + 1.15 x + 8]$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $16$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [- \frac{16 (x^{2})}{0.434 v^{2}} + 1.15 x + 8]$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $0.434$ aus $0.434 v^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [- \frac{16 (x^{2})}{0.434 (v^{2})} + 1.15 x + 8]$

Schritt 4.1.4

Separiere Brüche.

$\frac{d}{d x} [- (\frac{16}{0.434} \cdot \frac{x^{2}}{v^{2}}) + 1.15 x + 8]$

Schritt 4.1.5

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 4.1.5.1

Dividiere $16$ durch $0.434$ .

$\frac{d}{d x} [- (36.86635944 \frac{x^{2}}{v^{2}}) + 1.15 x + 8]$

Schritt 4.1.5.2

Kombiniere $36.86635944$ und $\frac{x^{2}}{v^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}} + 1.15 x + 8]$

Schritt 4.1.5.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}}] + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 4.1.6

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}}]$ .

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Schritt 4.1.6.1

Da $- \frac{36.86635944}{v^{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{36.86635944 x^{2}}{v^{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{36.86635944}{v^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{36.86635944}{v^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 4.1.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{36.86635944}{v^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 4.1.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{36.86635944}{v^{2}} x + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 4.1.6.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{36.86635944}{v^{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 36.86635944}{v^{2}} x + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 4.1.6.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $36.86635944$ .

$\frac{- 73.73271889}{v^{2}} x + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 4.1.6.6

Kombiniere $\frac{- 73.73271889}{v^{2}}$ und $x$ .

$\frac{- 73.73271889 x}{v^{2}} + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 4.1.6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + \frac{d}{d x} [1.15 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 4.1.7

Berechne $\frac{d}{d x} [1.15 x]$ .

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Schritt 4.1.7.1

Da $1.15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1.15 x$ nach $x$ gleich $1.15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 4.1.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 4.1.7.3

Mutltipliziere $1.15$ mit $1$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 4.1.8

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.8.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 + 0$

Schritt 4.1.8.2

Addiere $- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15$ und $0$ .

$f' (x) = - \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} + 1.15 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1.15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} = - 1.15$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} = - 1.15$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{73.73271889 x}{v^{2}} = - 1.15$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{73.73271889 x}{v^{2}}}{- 1} = \frac{- 1.15}{- 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{73.73271889 x}{v^{2}}}{1} = \frac{- 1.15}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2

Dividiere $\frac{73.73271889 x}{v^{2}}$ durch $1$ .

$\frac{73.73271889 x}{v^{2}} = \frac{- 1.15}{- 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividiere $- 1.15$ durch $- 1$ .

$\frac{73.73271889 x}{v^{2}} = 1.15$

Schritt 5.4

Multipliziere beide Seiten mit $v^{2}$ .

$\frac{73.73271889 x}{v^{2}} v^{2} = 1.15 v^{2}$

Schritt 5.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2}$ .

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Schritt 5.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{73.73271889 x}{v^{2}} v^{2} = 1.15 v^{2}$

Schritt 5.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$73.73271889 x = 1.15 v^{2}$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $73.73271889 x = 1.15 v^{2}$ durch $73.73271889$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $73.73271889 x = 1.15 v^{2}$ durch $73.73271889$ .

$\frac{73.73271889 x}{73.73271889} = \frac{1.15 v^{2}}{73.73271889}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $73.73271889$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{73.73271889 x}{73.73271889} = \frac{1.15 v^{2}}{73.73271889}$

Schritt 5.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1.15 v^{2}}{73.73271889}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Faktorisiere $1.15$ aus $1.15 v^{2}$ heraus.

$x = \frac{1.15 (v^{2})}{73.73271889}$

Schritt 5.6.3.2

Faktorisiere $73.73271889$ aus $73.73271889$ heraus.

$x = \frac{1.15 (v^{2})}{73.73271889 (1)}$

Schritt 5.6.3.3

Separiere Brüche.

$x = \frac{1.15}{73.73271889} \cdot \frac{v^{2}}{1}$

Schritt 5.6.3.4

Dividiere $1.15$ durch $73.73271889$ .

$x = 0.01559687 \frac{v^{2}}{1}$

Schritt 5.6.3.5

Dividiere $v^{2}$ durch $1$ .

$x = 0.01559687 v^{2}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{73.73271889 x}{v^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$v^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$v = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$v = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$v = \pm 0$

Schritt 6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$v = 0$

Schritt 6.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0.01559687 v^{2}$

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0.01559687 v^{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{73.73271889}{v^{2}}$

Schritt 9

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 10