Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3} - 21 x + 20}{x^{3} - 8 x^{2} + 11 x + 20}$

Schritt 1

Stelle fest, ob die Funktion ungerade, gerade oder keines von beidem ist, um die Symmetrie zu ermitteln.

1. Wenn ungerade, dann ist die Funktion symmetrisch zum Ursprung.

1. Wenn gerade, dann ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse.

Schritt 2

Ermittle $f (- x)$ .

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Schritt 2.1

Ermittle $f (- x)$ durch Einsetzen von $- x$ in $f (x)$ für jedes $x$ .

$f (- x) = \frac{{(- x)}^{3} - 21 (- x) + 20}{{(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 11 (- x) + 20}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = \frac{{(- 1)}^{3} x^{3} - 21 (- x) + 20}{{(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 11 (- x) + 20}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x) = \frac{- x^{3} - 21 (- x) + 20}{{(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 11 (- x) + 20}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 21$ .

$f (- x) = \frac{- x^{3} + 21 x + 20}{{(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 11 (- x) + 20}$

Schritt 2.2.4

Schreibe $- x^{3} + 21 x + 20$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.2.4.1

Faktorisiere $- x^{3} + 21 x + 20$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.2.4.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Schritt 2.2.4.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Schritt 2.2.4.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.2.4.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$- {(- 1)}^{3} + 21 \cdot - 1 + 20$

Schritt 2.2.4.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- - 1 + 21 \cdot - 1 + 20$

Schritt 2.2.4.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + 21 \cdot - 1 + 20$

Schritt 2.2.4.1.3.4

Mutltipliziere $21$ mit $- 1$ .

$1 - 21 + 20$

Schritt 2.2.4.1.3.5

Subtrahiere $21$ von $1$ .

$- 20 + 20$

Schritt 2.2.4.1.3.6

Addiere $- 20$ und $20$ .

$0$

Schritt 2.2.4.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{3} + 21 x + 20}{x + 1}$

Schritt 2.2.4.1.5

Dividiere $- x^{3} + 21 x + 20$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.2.4.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$20$

Schritt 2.2.4.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	+	$20$

Schritt 2.2.4.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.2.4.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} - x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.2.4.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Schritt 2.2.4.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$21 x$

Schritt 2.2.4.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$21 x$

Schritt 2.2.4.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 2.2.4.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + x$

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$21 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 2.2.4.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$21 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$

Schritt 2.2.4.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$21 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	+	$20$

Schritt 2.2.4.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $20 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$20$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$21 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	+	$20$

Schritt 2.2.4.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$20$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$21 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	+	$20$
							+	$20 x$	+	$20$

Schritt 2.2.4.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $20 x + 20$

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$20$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$21 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	+	$20$
							-	$20 x$	-	$20$

Schritt 2.2.4.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$20$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$21 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	+	$20$
							-	$20 x$	-	$20$
										$0$

Schritt 2.2.4.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{2} + x + 20$

Schritt 2.2.4.1.6

Schreibe $- x^{3} + 21 x + 20$ als eine Menge von Faktoren.

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x^{2} + x + 20)}{{(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 11 (- x) + 20}$

Schritt 2.2.4.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 2.2.4.2.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x^{2} + 1 x + 20)}{{(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 11 (- x) + 20}$

Schritt 2.2.4.2.1.2

Schreibe $1$ um als $- 4$ plus $5$

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x^{2} + (- 4 + 5) x + 20)}{{(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 11 (- x) + 20}$

Schritt 2.2.4.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x^{2} - 4 x + 5 x + 20)}{{(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 11 (- x) + 20}$

Schritt 2.2.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.4.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (- x) = \frac{(x + 1) ((- x^{2} - 4 x) + 5 x + 20)}{{(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 11 (- x) + 20}$

Schritt 2.2.4.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (- x) = \frac{(x + 1) (x (- x - 4) - 5 (- x - 4))}{{(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 11 (- x) + 20}$

Schritt 2.2.4.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 4$ .

$f (- x) = \frac{(x + 1) ((- x - 4) (x - 5))}{{(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 11 (- x) + 20}$

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x - 4) (x - 5)}{{(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 11 (- x) + 20}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x - 4) (x - 5)}{{(- 1)}^{3} x^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 11 (- x) + 20}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x - 4) (x - 5)}{- x^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 11 (- x) + 20}$

Schritt 2.3.3

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x - 4) (x - 5)}{- x^{3} - 8 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 11 (- x) + 20}$

Schritt 2.3.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x - 4) (x - 5)}{- x^{3} - 8 (1 x^{2}) + 11 (- x) + 20}$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x - 4) (x - 5)}{- x^{3} - 8 x^{2} + 11 (- x) + 20}$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x - 4) (x - 5)}{- x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 20}$

Schritt 2.3.7

Schreibe $- x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 20$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.3.7.1

Faktorisiere $- x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 20$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.3.7.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Schritt 2.3.7.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Schritt 2.3.7.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.3.7.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$- 1^{3} - 8 \cdot 1^{2} - 11 \cdot 1 + 20$

Schritt 2.3.7.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$- 1 \cdot 1 - 8 \cdot 1^{2} - 11 \cdot 1 + 20$

Schritt 2.3.7.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 - 8 \cdot 1^{2} - 11 \cdot 1 + 20$

Schritt 2.3.7.1.3.4

Potenziere $1$ mit $2$ .

$- 1 - 8 \cdot 1 - 11 \cdot 1 + 20$

Schritt 2.3.7.1.3.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$- 1 - 8 - 11 \cdot 1 + 20$

Schritt 2.3.7.1.3.6

Subtrahiere $8$ von $- 1$ .

$- 9 - 11 \cdot 1 + 20$

Schritt 2.3.7.1.3.7

Mutltipliziere $- 11$ mit $1$ .

$- 9 - 11 + 20$

Schritt 2.3.7.1.3.8

Subtrahiere $11$ von $- 9$ .

$- 20 + 20$

Schritt 2.3.7.1.3.9

Addiere $- 20$ und $20$ .

$0$

Schritt 2.3.7.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 20}{x - 1}$

Schritt 2.3.7.1.5

Dividiere $- x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 20$ durch $x - 1$ .

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Schritt 2.3.7.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x$

$20$

Schritt 2.3.7.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$11 x$	+	$20$

Schritt 2.3.7.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$11 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.3.7.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} + x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$11 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.3.7.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$11 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Schritt 2.3.7.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$11 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$11 x$

Schritt 2.3.7.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 9 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$11 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$11 x$

Schritt 2.3.7.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$11 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Schritt 2.3.7.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 9 x^{2} + 9 x$

			-	$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$11 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Schritt 2.3.7.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$11 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$20 x$

Schritt 2.3.7.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$11 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$20 x$	+	$20$

Schritt 2.3.7.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 20 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$11 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$20 x$	+	$20$

Schritt 2.3.7.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$11 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$20 x$	+	$20$
							-	$20 x$	+	$20$

Schritt 2.3.7.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 20 x + 20$

			-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$11 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$20 x$	+	$20$
							+	$20 x$	-	$20$

Schritt 2.3.7.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$11 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$20 x$	+	$20$
							+	$20 x$	-	$20$
										$0$

Schritt 2.3.7.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{2} - 9 x - 20$

Schritt 2.3.7.1.6

Schreibe $- x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 20$ als eine Menge von Faktoren.

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x - 4) (x - 5)}{(x - 1) (- x^{2} - 9 x - 20)}$

Schritt 2.3.7.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.3.7.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 20 = 20$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 2.3.7.2.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 x$ heraus.

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x - 4) (x - 5)}{(x - 1) (- x^{2} - 9 x - 20)}$

Schritt 2.3.7.2.1.2

Schreibe $- 9$ um als $- 4$ plus $- 5$

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x - 4) (x - 5)}{(x - 1) (- x^{2} + (- 4 - 5) x - 20)}$

Schritt 2.3.7.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x - 4) (x - 5)}{(x - 1) (- x^{2} - 4 x - 5 x - 20)}$

Schritt 2.3.7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.3.7.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x - 4) (x - 5)}{(x - 1) ((- x^{2} - 4 x) - 5 x - 20)}$

Schritt 2.3.7.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x - 4) (x - 5)}{(x - 1) (x (- x - 4) + 5 (- x - 4))}$

Schritt 2.3.7.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 4$ .

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x - 4) (x - 5)}{(x - 1) ((- x - 4) (x + 5))}$

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x - 4) (x - 5)}{(x - 1) (- x - 4) (x + 5)}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x - 4$ .

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- x) = \frac{(x + 1) (- x - 4) (x - 5)}{(x - 1) (- x - 4) (x + 5)}$

Schritt 2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- x) = \frac{(x + 1) (x - 5)}{(x - 1) (x + 5)}$

Schritt 3

Eine Funktion ist gerade, wenn $f (- x) = f (x)$ .

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Schritt 3.1

Prüfe, ob $f (- x) = f (x)$ .

Schritt 3.2

Da $\frac{(x + 1) (x - 5)}{(x - 1) (x + 5)}$ $\neq$ $\frac{x^{3} - 21 x + 20}{x^{3} - 8 x^{2} + 11 x + 20}$ , ist die Funktion nicht gerade.

Die Funktion ist nicht gerade

Schritt 4

Eine Funktion ist ungerade, wenn $f (- x) = - f (x)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{x^{3} - 21 x + 20}{x^{3} - 8 x^{2} + 11 x + 20}$ .

$- f (x) = - \frac{x^{3} - 21 x + 20}{x^{3} - 8 x^{2} + 11 x + 20}$

Schritt 4.2

Da $\frac{(x + 1) (x - 5)}{(x - 1) (x + 5)}$ $\neq$ $- \frac{x^{3} - 21 x + 20}{x^{3} - 8 x^{2} + 11 x + 20}$ , ist die Funktion nicht ungerade.

Die Funktion ist nicht ungerade

Schritt 5

Die Funktion ist weder ungerade noch gerade

Schritt 6

Da die Funktion nicht ungerade ist, ist sie nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Keine Punktsymmetrie zum Ursprung

Schritt 7

Da die Funktion nicht gerade ist, ist sie nicht zur y-Achse symmetrisch.

Kein Schnittpunkt mit der y-Achse

Schritt 8

Da die Funktion weder ungerade noch gerade ist, gibt es keine Punktsymmetrie zum Ursprung und keine y-Achsensymmetrie.

Funktion ist nicht symmetrisch

Schritt 9