Algebra Beispiele

$y = x^{2} - 6 x + 8$ $2 y + x = 4$

Schritt 1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $x^{2} - 6 x + 8$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1

Ersetze alle $y$ in $2 y + x = 4$ durch $x^{2} - 6 x + 8$ .

$2 (x^{2} - 6 x + 8) + x = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $2 (x^{2} - 6 x + 8) + x$ .

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 8 + x = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 1.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$2 x^{2} - 12 x + 2 \cdot 8 + x = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$2 x^{2} - 12 x + 16 + x = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$2 x^{2} - 12 x + 16 + x = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$2 x^{2} - 12 x + 16 + x = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $- 12 x$ und $x$ .

$2 x^{2} - 11 x + 16 = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$2 x^{2} - 11 x + 16 = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$2 x^{2} - 11 x + 16 = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$2 x^{2} - 11 x + 16 = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 2

Löse in $2 x^{2} - 11 x + 16 = 4$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 11 x + 16 - 4 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 2.2

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$2 x^{2} - 11 x + 12 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 2.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 12 = 24$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 x$ heraus.

$2 x^{2} - 11 x + 12 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe $- 11$ um als $- 3$ plus $- 8$

$2 x^{2} + (- 3 - 8) x + 12 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 3 x - 8 x + 12 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$2 x^{2} - 3 x - 8 x + 12 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} - 3 x) - 8 x + 12 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 2.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x - 3) - 4 (2 x - 3) = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$x (2 x - 3) - 4 (2 x - 3) = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x - 4) = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$(2 x - 3) (x - 4) = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x - 4 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 2.5

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 2.5.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$x = \frac{3}{2}$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$x = \frac{3}{2}$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$x = \frac{3}{2}$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$x = \frac{3}{2}$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$x = \frac{3}{2}$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 2.6

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 2.6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$x = 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 3) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{2}, 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

$x = \frac{3}{2}, 4$

$y = x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 3

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{3}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 6 x + 8$ durch $\frac{3}{2}$ .

$y = {(\frac{3}{2})}^{2} - 6 (\frac{3}{2}) + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(\frac{3}{2})}^{2} - 6 (\frac{3}{2}) + 8$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$y = \frac{3^{2}}{2^{2}} - 6 (\frac{3}{2}) + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{9}{2^{2}} - 6 (\frac{3}{2}) + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{9}{4} - 6 (\frac{3}{2}) + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$y = \frac{9}{4} + 2 (- 3) (\frac{3}{2}) + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{9}{4} + 2 \cdot (- 3 (\frac{3}{2})) + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{9}{4} - 3 \cdot 3 + 8$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{9}{4} - 3 \cdot 3 + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.1.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$y = \frac{9}{4} - 9 + 8$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{9}{4} - 9 + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.1.2.1

Schreibe $- 9$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{1} + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 9}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{4}{4} + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.1.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 9}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + 8$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.1.2.4

Schreibe $8$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y = \frac{9}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1}$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.1.2.5

Mutltipliziere $\frac{8}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1} \cdot \frac{4}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.1.2.6

Mutltipliziere $\frac{8}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{9}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{9 - 9 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $4$ .

$y = \frac{9 - 36 + 8 \cdot 4}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.1.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$y = \frac{9 - 36 + 32}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{9 - 36 + 32}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.1.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.1.5.1

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$y = \frac{- 27 + 32}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.1.5.2

Addiere $- 27$ und $32$ .

$y = \frac{5}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{5}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{5}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{5}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

$y = \frac{5}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} - 6 x + 8$ durch $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

$x = 4$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = 16 - 6 \cdot 4 + 8$

$x = 4$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$y = 16 - 24 + 8$

$x = 4$

$y = 16 - 24 + 8$

$x = 4$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1.2.1

Subtrahiere $24$ von $16$ .

$y = - 8 + 8$

$x = 4$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $- 8$ und $8$ .

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{3}{2}, \frac{5}{4})$

$(4, 0)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{3}{2}, \frac{5}{4}), (4, 0)$

Gleichungsform:

$x = \frac{3}{2}, y = \frac{5}{4}$

$x = 4, y = 0$

Schritt 7